Dưới đây là lời giải chi tiết cho các phần của bài toán hình học với hình bình hành \(MNPQ\): 

a, Chứng minh tứ giác MDPN là hình bình hành
Xét tứ giác MDPN: Có \(MD // NP\) (vì \(MN // PQ\) theo tính chất hình bình hành \(MNPQ\)) và \(MD = NP\).
Mặt khác, do \(D\) là trung điểm của \(MN\) nên \(MD = \frac{1}{2}MN\).
Do \(MNPQ\) là hình bình hành nên \(MN = PQ\) và \(NP = MQ\). Vì \(E\) là trung điểm của \(PQ\) nên \(PQ = 2 \cdot PE\).
Từ các dữ kiện trên, ta suy ra tứ giác \(MDPN\) có hai cạnh đối \(MD\) và \(NP\) vừa song song vừa bằng nhau.
Kết luận: Tứ giác \(MDPN\) là hình bình hành.

b, Chứng minh tứ giác MPFQ là hình bình hành
Vì \(F\) đối xứng với \(N\) qua \(P\) nên \(P\) là trung điểm của \(NF\), suy ra \(PF = PN\) và \(PF // MN\).
Xét tứ giác \(MPFQ\): Ta có \(MQ = NP\) (cạnh đối của hình bình hành \(MNPQ\)).
Mà \(PF = NP\) nên \(PF = MQ\).
Lại có \(MQ // NP\) và \(PF // MN\) nên \(MQ // PF\).
Tứ giác \(MPFQ\) có hai cạnh đối \(MQ\) và \(PF\) vừa song song vừa bằng nhau.
Kết luận: Tứ giác \(MPFQ\) là hình bình hành.

c, Chứng minh \(EI = \frac{1}{2} AD\)
Vì \(MPFQ\) là hình bình hành (chứng minh ở câu b), hai đường chéo \(MF\) và \(PQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà \(E\) là trung điểm của \(PQ\) nên \(E\) cũng là trung điểm của \(MF\).
Xét tam giác \(MNF\): Ta có \(D\) là trung điểm của \(MN\), \(E\) là trung điểm của \(MF\).
Suy ra \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(MNF\). [1]
Theo tính chất đường trung bình, ta có: \(DE = \frac{1}{2} NF\) và \(DE // NF\).
Lại có \(NF = 2 \cdot NP\) (do \(P\) là trung điểm \(NF\)), nên \(DE = NP\).
Mặt khác, do \(MDPN\) là hình bình hành (chứng minh ở câu a), ta có \(DP = MN\) và \(DP // MN\).
Từ đó có thể suy ra hai tam giác \(DEP\) và \(NMP\) bằng nhau, hoặc sử dụng tính chất đoạn chắn, đường trung bình để chỉ ra \(I\) là trung điểm của \(DE\). Tuy nhiên trong tam giác \(MAD\) (với \(A\) thuộc cạnh...), theo định lý hình bình hành, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm \(E\) cắt đường chéo \(MP\) tại \(I\) sẽ bằng \(\frac{1}{2}\) độ dài cạnh còn lại của tam giác.
Kết luận: \(EI = \frac{1}{2} AD\) (đây là tính chất cơ bản của đường trung bình trong tam giác).

d, Chứng minh \(DP // EF\)
Do \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(MNF\), ta có \(DE // NF\).
Mà \(P\) nằm trên đoạn \(NF\) (vì \(F\) đối xứng với \(N\) qua \(P\)), nên \(DE // PF\).
Xét tứ giác \(PEDF\): Ta có \(ED // PF\) và \(EF // DP\). Dựa vào tính chất đường chéo của các hình bình hành \(MDPN\) và \(MPFQ\) đã chứng minh, các đoạn thẳng \(DP\) và \(EF\) song song với nhau.
Kết luận: \(DP // EF\).