Giải phương trình:

$\frac{x+1}{x^2+2x}+\frac{x+6}{x^2+12x+35}=\frac{x+2}{x^2+4x+3}-\frac{x+15}{x^2+10x+24}$

Ta phân tích mẫu:

x²+2x=x(x+2)

x²+12x+35=(x+5)(x+7)

x²+4x+3=(x+1)(x+3)

x²+10x+24=(x+4)(x+6)

Điều kiện xác định:

x≠0,−2,−5,−7,−1,−3,−4,−6

Khi đó phương trình trở thành:

$\frac{x+1}{x\left(x+2\right)}+\frac{x+6}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)}=\frac{x+2}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}-\frac{x+15}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)}$

​Ta tách thành phân thức đơn:

$$\begin{gathered} \frac{x+1}{x\left(x+2\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}\right) \\ \frac{x+6}{\left(x+5\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+7}\right) \\ \frac{x+2}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+3}\right) \\ \frac{x+15}{\left(x+4\right)\left(x+6\right)}=\frac{9}{2}.\frac{1}{x+4}-\frac{7}{2}.\frac{1}{x+6} \end{gathered}$$

​Do đó:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+7}=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+3}+\frac{9}{x+4}+\frac{7}{x+6}$

Quy đồng rồi rút gọn, ta được:

$\frac{2\left(x+5\right)\left(x+6\right)}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=\frac{-2\left(x+5\right)\left(x+6\right)}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)}$

​Suy ra:

$\frac{2}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)}=-\frac{2}{x\left(x+4\right)\left(x+5\right)\left(x+6\right)\left(x+7\right)}$

​Nhân chéo:

(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=− x(x+1)(x+2)(x+3)

Nhận thấy:

(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)=(x2+11x+28)(x2+11x+30)(

Đặt:

t=x²+11x+29

thì:

(t−1)(t+1)=−x(x+1)(x+2)(x+3)

Sau khi khai triển và rút gọn được:

2x²+14x+14=0

x²+7x+7=0

$x=\frac{-7\pm \sqrt{49-28}}{2}=\frac{-7\pm \sqrt{21}}{2}$

​​Hai nghiệm đều thỏa điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là:

x= $\frac{-7+\sqrt{21}}{2}$ hoặc  x= $\frac{-7-\sqrt{21}}{2}$