Gọi ddd là đường thẳng qua A.
B′,C′ lần lượt là hình chiếu vuông góc của B,C trên d.

Ta cần tìm vị trí của ddd để

BB′+CC′

lớn nhất.

Vì $\hat{A}$=90^∘, đặt:

AB=b,AC=c

Gọi α là góc tạo bởi ddd với AB.

Khi đó:

Khoảng cách từ B đến d:
BB′=ABsin⁡α=bsin⁡α

Góc giữa AC và d là 90^∘−α, nên:
CC′=ACsin⁡(90^∘−α)=ccos⁡α

Do đó:

BB′+CC′=bsin⁡α+ccos⁡α

Xét:

S=bsin⁡α+ccos⁡α

Ta có bất đẳng thức:

bsin⁡α+ccos⁡α≤ $\sqrt{b^2+c^2}$

​Dấu “=” xảy ra khi

tan⁡α= $\frac{b}{c}$

Mà:

BC=$\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{b^2+c^2}$

Suy ra giá trị lớn nhất của BB′+CC là BC.

Điều kiện đạt được:

tan⁡α= $\frac{AB}{AC}$

​Điều này tương đương với:

d⊥BC

Vậy:

BB’ + CC’ lớn nhất khi d vuông góc với BC

​và khi đó:

BB′+CC′=BC​

Để tổng \(BB' + CC'\) đạt giá trị lớn nhất, đường thẳng \(d\) phải thỏa mãn một trong hai vị trí sau:
\(d\) là đường cao hạ từ \(A\) xuống \(BC\) (khi đó \(d \perp BC\)).
\(d\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) (với \(M\) là trung điểm của \(BC\)).

Trong cả hai trường hợp, giá trị lớn nhất của \(BB' + CC'\) đều bằng \(BC\).

Lời giải chi tiết
Xét hai trường hợp xảy ra đối với vị trí của đường thẳng \(d\):

Trường hợp 1: Đường thẳng \(d\) cắt cạnh \(BC\)
Trong trường hợp này, hai điểm \(B\) và \(C\) nằm về hai phía khác nhau đối với đường thẳng \(d\). Gọi \(H\) là giao điểm của \(BC\) và \(d\).
Do \(B^{\prime }\) và \(C^{\prime }\) lần lượt là hình chiếu của \(B\) và \(C\) trên \(d\), ta có các tam giác \(BB'H\) và \(CC'H\) vuông tại \(B^{\prime }\) và \(C^{\prime }\).
Trong tam giác vuông, cạnh góc vuông luôn nhỏ hơn hoặc bằng cạnh huyền:
\(BB' \le BH\) (Dấu "=" xảy ra khi \(B' \equiv H\), tức là \(BB' \perp BC\))
\(CC' \le CH\) (Dấu "=" xảy ra khi \(C' \equiv H\), tức là \(CC' \perp BC\))

Cộng vế với vế, ta được:
\(BB^{\prime }+CC^{\prime }\le BH+CH=BC\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(BC \perp d\). Vì \(d\) đi qua \(A\) nên \(d\) chính là đường cao hạ từ \(A\) xuống \(BC\).

Trường hợp 2: Đường thẳng \(d\) không cắt cạnh \(BC\)
Trong trường hợp này, hai điểm \(B\) và \(C\) nằm về cùng một phía đối với đường thẳng \(d\). Tứ giác \(B C C' B'\) là một hình thang vuông tại \(B^{\prime }\) và \(C^{\prime }\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Kẻ \(MM' \perp d\) tại \(M^{\prime }\). Khi đó, \(MM^{\prime }\) là đường trung bình của hình thang vuông \(B C C' B'\).
Theo tính chất đường trung bình của hình thang:
\(BB^{\prime }+CC^{\prime }=2MM^{\prime }\)
Xét tam giác \(AMM^{\prime }\) vuông tại \(M^{\prime }\) (do \(MM' \perp d\) và \(A\) nằm trên \(d\)), ta luôn có:
\(MM^{\prime }\le AM\)
Do đó:
\(BB^{\prime }+CC^{\prime }\le 2AM\)
Mặt khác, trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\), nên \(AM = \frac{1}{2}BC\), suy ra \(2AM = BC\).
Từ đó ta có:
\(BB^{\prime }+CC^{\prime }\le BC\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(M' \equiv A\), tức là \(AM \perp d\). Do đó, \(d\) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với trung tuyến \(AM\).

Kết luận
Trong cả hai trường hợp, giá trị lớn nhất của tổng \(BB' + CC'\) là \(BC\).
Đường thẳng \(d\) cần tìm là đường cao kẻ từ \(A\) hoặc đường thẳng qua \(A\) vuông góc với trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\).