Ta có phương trình:

(x+1)²=4(x²−2x+1)²

Nhận thấy:

x²−2x+1=(x−1)²

Nên phương trình trở thành:

(x+1)²=4(x−1)⁴

Lấy căn hai vế:

∣x+1∣=2(x−1)²

Xét hai trường hợp:

Trường hợp 1:
x+1=2(x−1)²

 x+1=2(x²−2x+1)

x+1=2x²−4x+2

2x²−5x+1=0

Giải ra:

$x=\frac{5\pm \sqrt{25-8}}{4}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{4}$
Trường hợp 2:
x+1=−2(x−1)²

 x+1=−2(x²−2x+1)

x+1=−2x²+4x−2

2x²−3x+3=0

Δ=(−3)²−4⋅2⋅3=9−24=−15<0\

Phương trình vô nghiệm thực.

Vậy nghiệm của phương trình là:

x=$\frac{5+\sqrt{17}}{4}$  hoặc  x= $\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
 
 
 
 

Để giải phương trình $(x+1)^2 = 4(x^2-2x+1)^2$, trước hết chúng ta hãy nhận xét và thu gọn các biểu thức ở hai vế để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.

Nhận thấy vế phải có hằng đẳng thức: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$.

Do đó, phương trình có thể viết lại thành:

$(x+1)^2 = 4 \cdot \left[(x-1)^2\right]^2$
$(x+1)^2 = 4(x-1)^4$
Bây giờ, chúng ta chuyển vế để đưa về phương trình tích bằng công thức hiệu hai bình phương ($A^2 - B^2 = 0$):

$(x+1)^2 - 4(x-1)^4 = 0$
$(x+1)^2 - \left[2(x-1)^2\right]^2 = 0$
Áp dụng hằng đẳng thức $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, ta có:

$\left[(x+1) - 2(x-1)^2\right] \cdot \left[(x+1) + 2(x-1)^2\right] = 0$
Đến đây, ta chia làm 2 trường hợp để giải:

Trường hợp 1: $(x+1) - 2(x-1)^2 = 0$
Khai triển và thu gọn:

$x + 1 - 2(x^2 - 2x + 1) = 0$
$x + 1 - 2x^2 + 4x - 2 = 0$

$-2x^2 + 5x - 1 = 0$
$2x^2 - 5x + 1 = 0$
Biệt thức $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 25 - 8 = 17 > 0$.

Phương trình có 2 nghiệm:

$x_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$
$x_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Trường hợp 2: $(x+1) + 2(x-1)^2 = 0$
Khai triển và thu gọn:

$x + 1 + 2(x^2 - 2x + 1) = 0$
$x + 1 + 2x^2 - 4x + 2 = 0$
$2x^2 - 3x + 3 = 0$
Biệt thức $\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 9 - 24 = -15 < 0$.

Vì $\Delta < 0$ nên phương trình ở trường hợp này vô nghiệm.

Kết luận:
Phương trình đã cho có tập nghiệm là:

$S = \left\{ \frac{5 - \sqrt{17}}{4}; \frac{5 + \sqrt{17}}{4} \right\}$