Giải
Gọi B là biến cố "Người đó mắc bệnh". Theo đề bài: P(B) = 0,5.
Gọi $\overline{B}$ là biến cố "Người đó không mắc bệnh": $P\left(\overline{B}\right)$ = 1 - 0,5 = 0,5.
Gọi A là biến cố "Xét nghiệm cho kết quả dương tính (+)".
Theo đề, ta có: 
Xác suất dương tính khi mắc bệnh là: P(A|B) = 0,8.
Xác suất dương tính khi không mắc bệnh là: $P\left(A|\overline{B}\right)=0,4$.
Chúng ta cần tìm xác suất để người đó thực sự mắc bệnh khi biết kết quả là dương tính, tức là tìm P(B|A).

Xác suất để một người bất kỳ có kết quả dương tính P(A) là:
Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, ta có:
$P\left(A\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(A\right|B)+P(P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A\right|\overline{B})$
=> $P\left(A\right)=0,5\cdot 0,8+0,5\cdot 0,4$
=> P(A) = 0,4 + 0,2 = 0,6
Xác suất thực sự mắc bệnh khi kết quả dương tính P(B|A) là:
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$
=> $P\left(B|A\right)=\frac{0,5\cdot 0,8}{0,6}=\frac{0,4}{0,6}=\frac{2}{3}\approx 0,6667$
Vậy:  Nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất để người đó thực sự mắc bệnh là khoảng 66,67%.

• Gọi:

  • $B$B: sự kiện "người đó mắc bệnh"
  • $\bar{B}$B: sự kiện "người đó không mắc bệnh"
  • $D$D: sự kiện "xét nghiệm cho kết quả dương tính"

• Dữ liệu đề bài cho:   
  P(B)=0.5 (tỉ lệ người mắc bệnh)
  P(B)=1−P(B)=0.5
  P(D∣B)=0.8 (xác suất xét nghiệm dương tính khi mắc bệnh)
  P(D∣B)=0.4 (xác suất xét nghiệm dương tính khi không mắc bệnh)

• Ta cần tìm xác suất P(B∣D) (xác suất người đó thực sự mắc bệnh khi xét nghiệm dương tính).

• Áp dụng định lý Bayes:

• Thay số vào:

• Làm tròn đến hàng phần trăm:
  P(B∣D)≈67%

Kết luận: Xác suất người đó thực sự mắc bệnh khi có kết quả xét nghiệm dương tính là khoảng 67%.