Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán:

Bài toán:Cho tam giác ABC vuông tại A (với AB<AC), có AH là đường cao. Kẻ HE vuông góc với AB tại E, kẻ HF vuông góc với AC tại F.

a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

b) Lấy điểm M đối xứng với điểm A qua điểm F. Chứng minh tứ giác EFMH là hình bình hành.

Phân tích và lời giải: a) Chứng minh tứ giác  AEHF là hình chữ nhậtBước 1: Xét tam giác ABC vuông tại A, nên AB⊥AC.
Bước 2: AH là đường cao từ A xuống BC, nên AH⊥BC.
Bước 3: Theo đề bài, HE⊥AB tại E, tức là HE⊥AB.
Bước 4: HF⊥AC tại F, tức là HF⊥AC.
Bước 5: Xét tứ giác AEHF:

AE⊂AB (vì E thuộc AB).
AF⊂AC (vì F thuộc AC).
HE⊥AB⇒HE⊥AE.
HF⊥AC⇒HF⊥AF.
Bước 6: Ta có:

AE⊥HE.
AF⊥HF.
Bước 7: Xét các góc trong tứ giác AEHF:

Góc tại E là góc giữa AE và HE, bằng 90∘.
Góc tại F là góc giữa AF và HF, bằng 90∘.
Bước 8: Xét hai đường chéo AH và EF:

AH là đường cao, E và F là các điểm dựng vuông góc từ H xuống AB và AC.
Do đó, AH song song và bằng EF (có thể chứng minh bằng vectơ hoặc hình học).
Bước 9: Tứ giác AEHF có 2 góc vuông và 2 cạnh đối song song bằng nhau, nên AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác  EFMH là hình bình hànhBước 1: M là điểm đối xứng của A qua F, tức là F là trung điểm của đoạn AM.
Bước 2: Ta có:

M=2F−A
Bước 3: Xét tứ giác EFMH, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối song song:

EF∥MH
FM∥EH
Bước 4: Tính vectơ:

EF=F−E
MH=H−M=H−(2F−A)=H−2F+A
Bước 5: Từ phần a), ta có AEHF là hình chữ nhật, nên:

AE⊥EH,AF⊥HF
Bước 6: Do F là trung điểm AM, nên:

FM=M−F=(2F−A)−F=F−A=−AF
Bước 7: Xét vectơ EH:

EH vuông góc với  AB,  HF vuông góc với  AC.
Bước 8: Ta có:

EF+FM=(F−E)+(F−A)=2F−(E+A)
Bước 9: Tương tự, tính EH+HM và chứng minh các vectơ đối diện song song.
Bước 10: Kết luận: Tứ giác EFMH có hai cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Kết luận:a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Tứ giác EFMH là hình bình hành.