a)

Xét $△$ABD và $△$ACD có:

AB = AC (vì tam giác ABC cân tại A)

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$ (vì AD là phân giác góc A)

AD là cạnh chung

Nên △ABD = △ACD (c.g.c)

b) 

Vì △ABD = △ACD (cm câu a)

=> $\widehat{ADB} = \widehat{ADC}$

Mà $\widehat{ADB} + \widehat{ADC} = 180°$ (2 góc kề bù)

=> $\widehat{ADB} = \widehat{ADC} = 90°$

$△$BHD vuông tại D có BH > BD

Mà BD = DC (△ABD = △ACD)

=> BH > DC

c)

Tam giác ABC có AD, BE, CK là các đường cao

=> AD, BE, CK đồng quy tại H

Cho tam giác $ABC$ABC cân tại $A$A, với $\mathrm{\angle }A<90^{\circ }$∠A<90∘, đường phân giác $AD$AD (với $D\in BC$D∈BC), đường cao $BE$BE, và $H$H là giao điểm của $BE$BE và $AD$AD.

• Vì tam giác $ABC$ABC cân tại $A$A, nên $AB=AC$AB=AC.
• $AD$AD là đường phân giác của $\mathrm{\angle }A$∠A, nên $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$∠BAD=∠CAD.
• $D$D nằm trên $BC$BC, nên $BD$BD và $DC$DC là hai đoạn thẳng trên $BC$BC.
• Xét hai tam giác $ABD$ABD và $ACD$ACD:
  • $AB=AC$AB=AC (tam giác cân tại $A$A)
  • $\mathrm{\angle }BAD=\mathrm{\angle }CAD$∠BAD=∠CAD (đường phân giác)
  • $AD$AD chung
• Do đó, theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c), ta có:
  $$\mathrm{△}ABD\cong \mathrm{△}ACD$$△ABD≅△ACD
• Kết luận: $\mathrm{△}ABD=\mathrm{△}ACD$△ABD=△ACD.

• Ta đã có $\mathrm{△}ABD\cong \mathrm{△}ACD$△ABD≅△ACD, nên $BD=DC$BD=DC.
• $BE$BE là đường cao từ $B$B xuống $AC$AC, nên $BE\perp AC$BE⊥AC.
• $H$H là giao điểm của $BE$BE và $AD$AD.
• Ta cần chứng minh $BH>CD$BH>CD.

Phân tích:

• Vì $H$H nằm trên $AD$AD, và $BE$BE là đường cao, nên $BH$BH là đoạn thẳng từ $B$B đến $H$H.
• $CD=BD$CD=BD (do tam giác cân và đường phân giác).
• Ta sẽ chứng minh $BH>CD$BH>CD bằng cách sử dụng tính chất hình học hoặc bất đẳng thức trong tam giác.

Cách chứng minh:

• Xét tam giác $BHD$BHD:
  • $H$H nằm trên $AD$AD, $D$D nằm trên $BC$BC.
  • $BH$BH là đoạn thẳng nối $B$B và $H$H.
• Vì $BE\perp AC$BE⊥AC và $AD$AD là đường phân giác, $H$H nằm giữa $B$B và $D$D theo một cách nào đó.
• Do đó, $BH$BH là đoạn thẳng lớn hơn đoạn $CD$CD (bằng $BD$BD).

Lưu ý: Phần này cần thêm dữ kiện hoặc hình vẽ để chứng minh chính xác hơn. Nếu không có thêm dữ kiện, ta không thể chứng minh rõ ràng.

• $AD$AD là đường phân giác góc $A$A.
• $BE$BE là đường cao từ $B$B.
• $CK$CK là đường vuông góc từ $C$C xuống $AB$AB.
• Ta cần chứng minh ba đường này đồng quy (cắt nhau tại một điểm).

Phân tích:

• Tam giác $ABC$ABC cân tại $A$A, nên $AB=AC$AB=AC.
• $AD$AD là đường phân giác, đồng thời cũng là đường trung tuyến và đường cao trong tam giác cân.
• $BE$BE là đường cao từ $B$B.
• $CK$CK là đường cao từ $C$C.
• Trong tam giác cân, các đường cao từ hai đỉnh đáy và đường phân giác từ đỉnh cân đồng quy tại trực tâm.

Kết luận:

• Ba đường $AD,BE,CK$AD,BE,CK đồng quy tại trực tâm $H$H của tam giác $ABC$ABC.

• a) $\mathrm{△}ABD\cong \mathrm{△}ACD$△ABD≅△ACD.
• b) $BH>CD$BH>CD (cần thêm dữ kiện hoặc hình vẽ để chứng minh rõ ràng).
• c) Ba đường thẳng $AD,BE,CK$AD,BE,CK đồng quy tại trực tâm $H$H.

Nếu bạn cần mình giải thích chi tiết hơn phần b) hoặc có hình vẽ, bạn có thể cung cấp thêm thông tin nhé!