Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

(a) Chứng minh

△ A E H \sim △ A H B

△AEH∼△AHB và

A E \cdot A B = A H^{2}

AE⋅AB=AH2

Xét $△ A E H$ △AEH và $△ A H B$ △AHB, ta có:

$∠ E A H$ ∠EAH là góc chung.
$∠ A E H = 9 0^{\circ}$ ∠AEH=90∘ (do $H E ⊥ A B$ HE⊥AB).
$∠ A H B = 9 0^{\circ}$ ∠AHB=90∘ (do $A H$ AH là đường cao của $△ A B C$ △ABC).

Do đó, $△ A E H \sim △ A H B$ △AEH∼△AHB (theo trường hợp góc - góc).

Từ tỉ số đồng dạng, ta có: $\frac{A E}{A H} = \frac{A H}{A B}$ AHAE=ABAH

Suy ra: $A E \cdot A B = A H^{2} (1)$ AE⋅AB=AH2(1)

(b) Chứng minh

M B \cdot M C = M E \cdot M F

MB⋅MC=ME⋅MF

Tương tự như câu (a), xét tam giác vuông $A H C$ AHC với đường cao $H F$ HF, ta có $△ A F H \sim △ A H C$ △AFH∼△AHC, từ đó suy ra: $A F \cdot A C = A H^{2} (2)$ AF⋅AC=AH2(2)

Từ $(1)$ (1) và $(2)$ (2), ta có: $A E \cdot A B = A F \cdot A C ⟹ \frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ AE⋅AB=AF⋅AC⟹ACAE=ABAFXét $△ A E F$ △AEF và $△ A C B$ △ACB, ta có:

$∠ A$ ∠A là góc chung.
$\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}$ ACAE=ABAF (chứng minh trên).

Do đó, $△ A E F \sim △ A C B$ △AEF∼△ACB (cạnh - góc - cạnh). Suy ra $∠ A E F = ∠ A C B$ ∠AEF=∠ACB (hai góc tương ứng).

Vì $∠ A E F = ∠ A C B$ ∠AEF=∠ACB, nên tứ giác $B C F E$ BCFE là tứ giác nội tiếp (góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Xét $△ M B E$ △MBE và $△ M F C$ △MFC, ta có:

$∠ M$ ∠M là góc chung.
$∠ M B E = ∠ M F C$ ∠MBE=∠MFC (cùng bù với góc $∠ A B C$ ∠ABC, hoặc dựa vào tính chất tứ giác nội tiếp $B C F E$ BCFE, góc ngoài tại đỉnh $B$ B bằng góc trong tại đỉnh $F$ F).

Do đó, $△ M B E \sim △ M F C$ △MBE∼△MFC (theo trường hợp góc - góc).

Từ tỉ số đồng dạng, ta có: $\frac{M B}{M F} = \frac{M E}{M C}$ MFMB=MCME

Suy ra: $M B \cdot M C = M E \cdot M F (đpcm)$ MB⋅MC=ME⋅MF(đpcm) =)

...Xem thêm

Answer 2