Dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán đã cho:

• Hình chữ nhật $ABCD$ABCD với $AD=6$AD=6, $AB=8$AB=8.
• $O$O là giao điểm của $AB$AB và $BD$BD.
• Qua $D$D kẻ đường thẳng $d$d vuông góc với $BD$BD, $d$d cắt tia $BC$BC tại $E$E.

Yêu cầu:

a) Tính độ dài $BD$BD và chứng minh tam giác $BDE\sim BCD$BDE∼BCD.

b) Kẻ $CH$CH vuông góc với $DE$DE tại $H$H. Chứng minh $D{C}^2=CH\cdot DB$DC2=CH⋅DB.

• Hình chữ nhật $ABCD$ABCD có $AB=8$AB=8, $AD=6$AD=6.

• Vì là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$AB⊥AD, $BC=AD=6$BC=AD=6, $CD=AB=8$CD=AB=8.

• Tọa độ giả sử:

  • $A(0,0)$A(0,0)
  • $B(8,0)$B(8,0)
  • $D(0,6)$D(0,6)
  • $C(8,6)$C(8,6)

• Tính độ dài $BD$BD:

  $$BD=\sqrt{(8-0{)}^2+(0-6{)}^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$BD=(8−0)2+(0−6)2​=64+36​=100​=10

• $O$O là giao điểm của $AB$AB và $BD$BD.
• $AB$AB nằm trên trục hoành $y=0$y=0.
• Phương trình đường thẳng $BD$BD:
  • Điểm $B(8,0)$B(8,0), $D(0,6)$D(0,6)
  • Hệ số góc:
    $$m_{BD}=\frac{6-0}{0-8}=\frac{6}{-8}=-\frac{3}{4}$$mBD​=0−86−0​=−86​=−43​
  • Phương trình $BD$BD:
    $$y-0=-\frac{3}{4}(x-8)\Rightarrow y=-\frac{3}{4}x+6$$y−0=−43​(x−8)⇒y=−43​x+6
• Giao điểm với $AB:y=0$AB:y=0:
  $$0=-\frac{3}{4}x+6\Rightarrow \frac{3}{4}x=6\Rightarrow x=8$$0=−43​x+6⇒43​x=6⇒x=8
• Vậy $O=(8,0)=B$O=(8,0)=B.

Nhận xét: $O$O trùng với $B$B.

• Qua $D(0,6)$D(0,6) kẻ đường thẳng $d$d vuông góc với $BD$BD.

• Đường thẳng $BD$BD có hệ số góc $m_{BD}=-\frac{3}{4}$mBD​=−43​.

• Đường thẳng $d$d vuông góc với $BD$BD có hệ số góc:

  $$m_d=\frac{4}{3}$$md​=34​

• Phương trình đường thẳng $d$d qua $D(0,6)$D(0,6):

  $$y-6=\frac{4}{3}(x-0)\Rightarrow y=\frac{4}{3}x+6$$y−6=34​(x−0)⇒y=34​x+6

• Tia $BC$BC đi từ $B(8,0)$B(8,0) đến $C(8,6)$C(8,6), tức là đường thẳng $x=8$x=8, $y\in [0,6]$y∈[0,6].

• Giao điểm $E$E của $d$d và tia $BC$BC là giao điểm của:

  $$x=8$$x=8

  và

  $$y=\frac{4}{3}\cdot 8+6=\frac{32}{3}+6=\frac{32}{3}+\frac{18}{3}=\frac{50}{3}\approx 16.67$$y=34​⋅8+6=332​+6=332​+318​=350​≈16.67

• Vì $E$E nằm trên tia $BC$BC (bắt đầu từ $B$B đi lên $C$C), mà $y_E=16.67>6$yE​=16.67>6, nên $E$E nằm trên phần kéo dài của tia $BC$BC phía trên $C$C.

• Xét tam giác $BDE$BDE và $BCD$BCD.

• Góc chung: $\mathrm{\angle }B$∠B là góc chung của hai tam giác.

• Vì $d$d vuông góc với $BD$BD, nên:

  $$\mathrm{\angle }BDE=90^{\circ }$$∠BDE=90∘

• Tam giác $BCD$BCD có:

  $$\mathrm{\angle }BCD=90^{\circ }$$∠BCD=90∘

• Vậy hai tam giác có hai góc bằng nhau:

  $$\mathrm{\angle }B=\mathrm{\angle }B,\mathrm{\angle }BDE=\mathrm{\angle }BCD=90^{\circ }$$∠B=∠B,∠BDE=∠BCD=90∘

• Do đó, theo định lý góc - góc (AA), ta có:

  $$\mathrm{△}BDE\sim \mathrm{△}BCD$$△BDE∼△BCD

• $CH\perp DE$CH⊥DE, $H\in DE$H∈DE.

• Ta đã biết:
  $$DC=AB=8,DB=10$$DC=AB=8,DB=10
• Ta cần chứng minh:
  $$D{C}^2=CH\cdot DB$$DC2=CH⋅DB
• Ta sẽ dùng tính chất tam giác vuông và các đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng.

• $D(0,6)$D(0,6), $E(8,\frac{50}{3})$E(8,350​), $C(8,6)$C(8,6).

• Vector $DE=(8-0,\frac{50}{3}-6)=(8,\frac{50}{3}-\frac{18}{3})=(8,\frac{32}{3})$DE=(8−0,350​−6)=(8,350​−318​)=(8,332​).

• Vector $DC=(8-0,6-6)=(8,0)$DC=(8−0,6−6)=(8,0).

• Vector $CH$CH là hình chiếu vuông góc của $DC$DC lên $DE$DE.

• Độ dài $CH$CH là khoảng cách từ $C$C đến đường thẳng $DE$DE.

• Phương trình đường thẳng $DE$DE:

  • Vector chỉ phương $\vec{u}=(8,\frac{32}{3})$u=(8,332​).
  • Điểm $D(0,6)$D(0,6).

• Phương trình tham số:

  $$x=8t,y=6+\frac{32}{3}t$$x=8t,y=6+332​t

• Khoảng cách từ $C(8,6)$C(8,6) đến đường thẳng $DE$DE là:

  $$d=\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DE}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{DE}\mathrm{\mid }}$$d=∣DE∣∣DC×DE∣​

• Vector $\overrightarrow{DC}=(8,0)$DC=(8,0).

• Vector $\overrightarrow{DE}=(8,\frac{32}{3})$DE=(8,332​).

• Tích có hướng (2D) của $\overrightarrow{DC}$DC và $\overrightarrow{DE}$DE:

  $$\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DE}=8\cdot \frac{32}{3}-0\cdot 8=\frac{256}{3}$$DC×DE=8⋅332​−0⋅8=3256​

• Độ dài $\mathrm{\mid }\overrightarrow{DE}\mathrm{\mid }$∣DE∣:

  $$\mathrm{\mid }\overrightarrow{DE}\mathrm{\mid }=\sqrt{8^2+{\left(\frac{32}{3}\right)}^2}=\sqrt{64+\frac{1024}{9}}=\sqrt{\frac{576}{9}+\frac{1024}{9}}=\sqrt{\frac{1600}{9}}=\frac{40}{3}$$∣DE∣=82+(332​)2​=64+91024​​=9576​+91024​​=91600​​=340​

• Vậy khoảng cách:

  $$CH=\frac{\mathrm{\mid }\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DE}\mathrm{\mid }}{\mathrm{\mid }\overrightarrow{DE}\mathrm{\mid }}=\frac{\frac{256}{3}}{\frac{40}{3}}=\frac{256}{3}\cdot \frac{3}{40}=\frac{256}{40}=6.4$$CH=∣DE∣∣DC×DE∣​=340​3256​​=3256​⋅403​=40256​=6.4