Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACF và AD.AC = AF.AB

1. Chứng minh ΔABD ~ ΔACF:

Xét hai tam giác vuông ΔABD và ΔACF, ta có:

∠BDA = 90° (vì BD là đường cao).
∠CFA = 90° (vì CF là đường cao).
∠BAC là góc chung.
Do đó, ΔABD ~ ΔACF (theo trường hợp đồng dạng góc - góc).

2. Chứng minh AD.AC = AF.AB:

Vì ΔABD ~ ΔACF (chứng minh trên), ta có tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau: AD / AF = AB / AC = BD / CF

Từ tỉ số đầu tiên: AD / AF = AB / AC

Nhân chéo hai vế, ta được: AD.AC = AF.AB (điều phải chứng minh).

b. Chứng minh AE vuông góc với BC và EA là tia phân giác của góc FED

1. Chứng minh AE ⊥ BC:

Trong tam giác ABC, ta có:BD là đường cao thứ nhất (BD ⊥ AC).
CF là đường cao thứ hai (CF ⊥ AB).
BD và CF cắt nhau tại H.
Theo định nghĩa, giao điểm của các đường cao trong một tam giác được gọi là trực tâm. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
Đường thẳng đi qua một đỉnh và trực tâm của tam giác thì chính là đường cao thứ ba của tam giác đó.
Do đó, đường thẳng AH chính là đường cao thứ ba của tam giác ABC.
Vì AH cắt BC tại E nên AE ⊥ BC (điều phải chứng minh).
2. Chứng minh EA là tia phân giác của góc FED:

Để chứng minh EA là tia phân giác của góc FED, ta cần chứng minh ∠FEA = ∠DEA.

Xét tứ giác BFEC:

Ta có ∠BFC = 90° (vì CF là đường cao).
Ta có ∠BEC = 90° (vì AE là đường cao, chứng minh trên).
Hai đỉnh F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°.
Do đó, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (nội tiếp đường tròn đường kính BC).
Trong một tứ giác nội tiếp, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Xét cung FB, ta có: ∠FEA = ∠FCB (hay ∠FEB = ∠FCB) (1)
Xét tứ giác CDHE:

Ta có ∠CDH = 90° (vì BD là đường cao).
Ta có ∠CEH = 90° (vì AE là đường cao).
∠CDH + ∠CEH = 90° + 90° = 180°.
Tổng hai góc đối của tứ giác CDHE bằng 180°, do đó đây là tứ giác nội tiếp.
Xét cung DH, ta có: ∠DEA = ∠DCH (hay ∠DEH = ∠DCH) (2)
Kết luận:

Từ (1) và (2), ta thấy ∠FEA và ∠DEA cùng bằng ∠FCB (hay ∠BCA).
Do đó, ∠FEA = ∠DEA.
Vì tia AE nằm giữa hai tia EF và ED, và ∠FEA = ∠DEA, nên EA là tia phân giác của góc FED (điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2

a. Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACF và AD.AC = AF.AB

1. Chứng minh ΔABD ~ ΔACF:

Xét hai tam giác vuông ΔABD và ΔACF, ta có:

∠BDA = 90° (vì BD là đường cao).
∠CFA = 90° (vì CF là đường cao).
∠BAC là góc chung.
Do đó, ΔABD ~ ΔACF (theo trường hợp đồng dạng góc - góc).

2. Chứng minh AD.AC = AF.AB:

Vì ΔABD ~ ΔACF (chứng minh trên), ta có tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau: AD / AF = AB / AC = BD / CF

Từ tỉ số đầu tiên: AD / AF = AB / AC

Nhân chéo hai vế, ta được: AD.AC = AF.AB (điều phải chứng minh).

b. Chứng minh AE vuông góc với BC và EA là tia phân giác của góc FED

1. Chứng minh AE ⊥ BC:

Trong tam giác ABC, ta có:BD là đường cao thứ nhất (BD ⊥ AC).
CF là đường cao thứ hai (CF ⊥ AB).
BD và CF cắt nhau tại H.
Theo định nghĩa, giao điểm của các đường cao trong một tam giác được gọi là trực tâm. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC.
Đường thẳng đi qua một đỉnh và trực tâm của tam giác thì chính là đường cao thứ ba của tam giác đó.
Do đó, đường thẳng AH chính là đường cao thứ ba của tam giác ABC.
Vì AH cắt BC tại E nên AE ⊥ BC (điều phải chứng minh).
2. Chứng minh EA là tia phân giác của góc FED:

Để chứng minh EA là tia phân giác của góc FED, ta cần chứng minh ∠FEA = ∠DEA.

Xét tứ giác BFEC:

Ta có ∠BFC = 90° (vì CF là đường cao).
Ta có ∠BEC = 90° (vì AE là đường cao, chứng minh trên).
Hai đỉnh F và E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc 90°.
Do đó, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp (nội tiếp đường tròn đường kính BC).
Trong một tứ giác nội tiếp, các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. Xét cung FB, ta có: ∠FEA = ∠FCB (hay ∠FEB = ∠FCB) (1)
Xét tứ giác CDHE:

Ta có ∠CDH = 90° (vì BD là đường cao).
Ta có ∠CEH = 90° (vì AE là đường cao).
∠CDH + ∠CEH = 90° + 90° = 180°.
Tổng hai góc đối của tứ giác CDHE bằng 180°, do đó đây là tứ giác nội tiếp.
Xét cung DH, ta có: ∠DEA = ∠DCH (hay ∠DEH = ∠DCH) (2)
Kết luận:

Từ (1) và (2), ta thấy ∠FEA và ∠DEA cùng bằng ∠FCB (hay ∠BCA).
Do đó, ∠FEA = ∠DEA.
Vì tia AE nằm giữa hai tia EF và ED, và ∠FEA = ∠DEA, nên EA là tia phân giác của góc FED (điều phải chứng minh).

1 câu trả lời 23

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Bài viết mới nhất Lớp 8