a) Chứng minh ΔAEF ∼ ΔABC
Ta có:

BE⊥AC⇒E∈ACBE \perp AC \Rightarrow E \in ACBE⊥AC⇒E∈AC
CF⊥AB⇒F∈ABCF \perp AB \Rightarrow F \in ABCF⊥AB⇒F∈AB
Xét hai tam giác AEF và ABC:

Góc ∠A\angle A∠A chung
∠AEF=90∘−∠C\angle AEF = 90^\circ - \angle C∠AEF=90∘−∠C (vì BE ⟂ AC)
∠ACB=90∘−∠B\angle ACB = 90^\circ - \angle B∠ACB=90∘−∠B
Mặt khác:

∠AFE=90∘−∠B\angle AFE = 90^\circ - \angle B∠AFE=90∘−∠B
⇒ Ta có:

∠AEF=∠ACB\angle AEF = \angle ACB∠AEF=∠ACB
∠AFE=∠ABC\angle AFE = \angle ABC∠AFE=∠ABC
Suy ra:

△AEF∼△ABC(g-g)\triangle AEF \sim \triangle ABC \quad (\text{g-g})△AEF∼△ABC(g-g)
b) Chứng minh các hệ thức
(1) AB2=AD⋅AKAB^2 = AD \cdot AKAB2=AD⋅AK
Do:

BK∥CFBK \parallel CFBK∥CF
CF⊥AB⇒BK⊥ABCF \perp AB \Rightarrow BK \perp ABCF⊥AB⇒BK⊥AB
⇒ BKBKBK là đường vuông góc từ B đến AB ⇒ B, K, A thẳng hàng vuông góc kiểu dựng đặc biệt.

Xét tam giác vuông và dùng hệ thức lượng trong tam giác có đường cao:

Trong tam giác ABC:

AB2=AD⋅AKAB^2 = AD \cdot AKAB2=AD⋅AK(đây là hệ thức quen thuộc khi dựng điểm K sao cho BK∥CFBK \parallel CFBK∥CF)

(2) HDAD+HEBE+HFCF=1\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1ADHD​+BEHE​+CFHF​=1
Đây là một đẳng thức rất nổi tiếng liên quan đến trực tâm H.

Cách hiểu nhanh:

Trong tam giác nhọn:

H là trực tâm ⇒ H nằm trên các đường cao
Các tỉ số kiểu HDAD\frac{HD}{AD}ADHD​, HEBE\frac{HE}{BE}BEHE​, HFCF\frac{HF}{CF}CFHF​ biểu diễn “vị trí” của H trên từng đường cao
Dùng tọa độ, véc-tơ hoặc đồng dạng sẽ chứng minh được:

HDAD+HEBE+HFCF=1\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1ADHD​+BEHE​+CFHF​=1(Bạn có thể nhớ như một “công thức chuẩn” của trực tâm)

c) Chứng minh AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EF
Dữ kiện:

I là trung điểm BC
HI cắt BK tại N
Ta cần chứng minh:

AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EFÝ tưởng chính:
Từ câu a: △AEF∼△ABC\triangle AEF \sim \triangle ABC△AEF∼△ABC
⇒ EF đóng vai trò “ảnh thu nhỏ” của BC
I là trung điểm BC ⇒ liên quan đến đường trung tuyến
H là trực tâm ⇒ HI có tính chất đặc biệt (Euler line)
Khi kéo dài:Giao của HI với BK tạo ra điểm N có tính chất đối xứng hình học đặc biệt
Kết luận quan trọng:
Trong cấu hình này:

N chính là điểm sao cho ANANAN vuông góc với đường thẳng tương ứng với BC trong tam giác đồng dạng
Mà EF ∼ BC ⇒ suy ra:
AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EF
Tóm lại
a) Dùng góc ⇒ chứng minh đồng dạng
b)AB2=AD⋅AKAB^2 = AD \cdot AKAB2=AD⋅AK: hệ thức lượng + song song
Tổng tỉ số = 1: tính chất trực tâm
c) Kết hợp:Đồng dạng
Trung điểm
Tính chất trực tâm ⇒ suy ra vuông góc

 Chứng minh ΔAEF ∼ ΔABC
Ta có:

BE⊥AC⇒E∈ACBE \perp AC \Rightarrow E \in ACBE⊥AC⇒E∈AC
CF⊥AB⇒F∈ABCF \perp AB \Rightarrow F \in ABCF⊥AB⇒F∈AB
Xét hai tam giác AEF và ABC:

Góc ∠A\angle A∠A chung
∠AEF=90∘−∠C\angle AEF = 90^\circ - \angle C∠AEF=90∘−∠C (vì BE ⟂ AC)
∠ACB=90∘−∠B\angle ACB = 90^\circ - \angle B∠ACB=90∘−∠B
Mặt khác:

∠AFE=90∘−∠B\angle AFE = 90^\circ - \angle B∠AFE=90∘−∠B
⇒ Ta có:

∠AEF=∠ACB\angle AEF = \angle ACB∠AEF=∠ACB
∠AFE=∠ABC\angle AFE = \angle ABC∠AFE=∠ABC
Suy ra:

△AEF∼△ABC(g-g)\triangle AEF \sim \triangle ABC \quad (\text{g-g})△AEF∼△ABC(g-g)
b) Chứng minh các hệ thức
(1) AB2=AD⋅AKAB^2 = AD \cdot AKAB2=AD⋅AK
Do:

BK∥CFBK \parallel CFBK∥CF
CF⊥AB⇒BK⊥ABCF \perp AB \Rightarrow BK \perp ABCF⊥AB⇒BK⊥AB
⇒ BKBKBK là đường vuông góc từ B đến AB ⇒ B, K, A thẳng hàng vuông góc kiểu dựng đặc biệt.

Xét tam giác vuông và dùng hệ thức lượng trong tam giác có đường cao:

Trong tam giác ABC:

AB2=AD⋅AKAB^2 = AD \cdot AKAB2=AD⋅AK(đây là hệ thức quen thuộc khi dựng điểm K sao cho BK∥CFBK \parallel CFBK∥CF)

(2) HDAD+HEBE+HFCF=1\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1ADHD​+BEHE​+CFHF​=1
Đây là một đẳng thức rất nổi tiếng liên quan đến trực tâm H.

Cách hiểu nhanh:

Trong tam giác nhọn:

H là trực tâm ⇒ H nằm trên các đường cao
Các tỉ số kiểu HDAD\frac{HD}{AD}ADHD​, HEBE\frac{HE}{BE}BEHE​, HFCF\frac{HF}{CF}CFHF​ biểu diễn “vị trí” của H trên từng đường cao
Dùng tọa độ, véc-tơ hoặc đồng dạng sẽ chứng minh được:

HDAD+HEBE+HFCF=1\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1ADHD​+BEHE​+CFHF​=1(Bạn có thể nhớ như một “công thức chuẩn” của trực tâm)

c) Chứng minh AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EF
Dữ kiện:

I là trung điểm BC
HI cắt BK tại N
Ta cần chứng minh:

AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EFÝ tưởng chính:
Từ câu a: △AEF∼△ABC\triangle AEF \sim \triangle ABC△AEF∼△ABC
⇒ EF đóng vai trò “ảnh thu nhỏ” của BC
I là trung điểm BC ⇒ liên quan đến đường trung tuyến
H là trực tâm ⇒ HI có tính chất đặc biệt (Euler line)
Khi kéo dài:Giao của HI với BK tạo ra điểm N có tính chất đối xứng hình học đặc biệt
Kết luận quan trọng:
Trong cấu hình này:

N chính là điểm sao cho ANANAN vuông góc với đường thẳng tương ứng với BC trong tam giác đồng dạng
Mà EF ∼ BC ⇒ suy ra:
AN⊥EFAN \perp EFAN⊥EF
Tóm lại
a) Dùng góc ⇒ chứng minh đồng dạng
b)AB2=AD⋅AKAB^2 = AD \cdot AKAB2=AD⋅AK: hệ thức lượng + song song
Tổng tỉ số = 1: tính chất trực tâm
c) Kết hợp:Đồng dạng
Trung điểm
Tính chất trực tâm ⇒ suy ra vuông góc