a)

Xét $△$IDF và $△$DEF có:

$\hat{F}$ chung

$\widehat{DIF} = \widehat{EDF} = 90°$

Nên △IDF $~$ △DEF (g.g)

=> $\frac{DI}{DE} = \frac{DF}{EF}$

=> DI.EF = DE.DF

b)

Xét △IDF và △IED có:

$\widehat{DIF} = \widehat{DIE} = 90°$

$\widehat{IDF} = \widehat{IED}$ (vì △IDF ~ △DEF)

Nên △IDF $~$ △IED (g.g)

=> $\frac{ID}{IE} = \frac{IF}{ID}$

=> ID² = IE.IF

c)

Bài 5: Tam giác DEF vuông tại D
a) Chứng minh $\Delta IDF \sim \Delta DEF$ và $DI \cdot EF = DE \cdot DF$
1. Chứng minh tam giác đồng dạng:

Xét $\Delta IDF$ và $\Delta DEF$ có:

$\widehat{DIF} = \widehat{EDF} = 90^\circ$ (do $DI$ là đường cao và $\Delta DEF$ vuông tại $D$).
$\widehat{F}$ là góc chung.
Do đó, $\Delta IDF \sim \Delta DEF$ (trường hợp góc - góc).
2. Chứng minh hệ thức:

Từ tỉ số đồng dạng ở trên, ta có:

$\frac{DI}{DE} = \frac{DF}{EF} \Rightarrow DI \cdot EF = DE \cdot DF$
(Đây chính là hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cao $\times$ Huyền = Tích hai cạnh góc vuông).

b) Chứng minh $\Delta IDF \sim \Delta IED$ và $ID^2 = IE \cdot IF$
1. Chứng minh tam giác đồng dạng:

Xét $\Delta IDF$ và $\Delta IED$ có:

$\widehat{DIF} = \widehat{EID} = 90^\circ$.
$\widehat{IDF} = \widehat{IED}$ (cùng phụ với góc $\widehat{IDE}$).
Do đó, $\Delta IDF \sim \Delta IED$ (trường hợp góc - góc).
2. Chứng minh hệ thức:

Từ tỉ số đồng dạng, ta có:

$\frac{ID}{IE} = \frac{IF}{ID} \Rightarrow ID^2 = IE \cdot IF$
(Bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền).

c) Chứng minh ba điểm E, O, K thẳng hàng
Đây là câu hỏi nâng cao, đòi hỏi sự kết hợp giữa tính chất đường trung bình và bổ đề hình thang hoặc định lý Menelaus.

Phân tích: Ta có $IH \perp DE$ và $DF \perp DE$ (do tam giác vuông tại $D$), suy ra $IH // DF$.
Xét trong $\Delta DEF$, $IH // DF$. Theo định lý Ta-lét, ta có tỉ số:

$\frac{IH}{DF} = \frac{EI}{EF}$
Gọi $M$ là giao điểm của $EK$ và $IH$. Để chứng minh $E, O, K$ thẳng hàng (tức $O \equiv M$), ta cần chứng minh $M$ là trung điểm của $IH$ để áp dụng tính chất đồng dạng hoặc bổ đề hình thang.
Xét $\Delta EKF$ với $IM // KF$ ($K$ là trung điểm $DF$, nên $KF = \frac{1}{2}DF$), ta có:

$\frac{IM}{KF} = \frac{EI}{EF}$
Từ (2) và (4), ta suy ra:

$\frac{IH}{DF} = \frac{IM}{KF}$
Mà $KF = \frac{1}{2}DF$ nên $IM = \frac{1}{2}IH$. Vậy $M$ là trung điểm của $IH$.
Bây giờ, xét tam giác $DFI$ có $IH // DF$. Gọi $O'$ là giao điểm của $HF$ và $DI$. Theo hệ quả định lý Ta-lét trong tam giác (hoặc cấu trúc hình thang có $IH // DF$):

$\frac{MH}{KF} = \frac{EO}{EK} = \frac{MI}{KD}$
Vì $M$ là trung điểm $IH$ và $K$ là trung điểm $DF$, đường thẳng nối $E, M, K$ sẽ đi qua giao điểm của hai đường chéo $DI$ và $HF$.
Vậy $DI, HF, EK$ đồng quy tại $O$. Suy ra $E, O, K$ thẳng hàng. (Đpcm)