Phương trình đường tròn cần tìm là \(\left(x - \frac{7}{3}\right)^2 + \left(y - \frac{11}{3}\right)^2 = \frac{50}{9}\).

1. Tham số hóa tâm I
Vì tâm \(I\) thuộc đường thẳng \(d: x - 2y + 5 = 0\), ta có thể đặt tọa độ của \(I\) theo biến \(t\):
\(I(2t-5;t)\)

2. Lập phương trình từ khoảng cách
Do đường tròn đi qua hai điểm \(A(0;4)\) và \(B(2;6)\) nên ta có \(IA = IB = R\), tương đương với \(IA^2 = IB^2\):
\(IA^{2}=(0-(2t-5))^{2}+(4-t)^{2}=(5-2t)^{2}+(4-t)^{2}\)
\(IB^{2}=(2-(2t-5))^{2}+(6-t)^{2}=(7-2t)^{2}+(6-t)^{2}\)

3. Giải tìm tọa độ tâm
Khai triển và rút gọn phương trình \(IA^2 = IB^2\):
\((25-20t+4t^{2})+(16-8t+t^{2})=(49-28t+4t^{2})+(36-12t+t^{2})\)
\(5t^{2}-28t+41=5t^{2}-40t+85\)
\(-28t+40t=85-41\)
\(12t=44\implies t=\frac{11}{3}\)
Thay \(t = \frac{11}{3}\) vào tọa độ điểm \(I\), ta được:
\(I\left(2\cdot \frac{11}{3}-5;\frac{11}{3}\right)\implies I\left(\frac{7}{3};\frac{11}{3}\right)\)

4. Tính bán kính đường tròn
Tính bình phương bán kính \(R^2 = IA^2\) với \(t = \frac{11}{3}\):
\(R^{2}=\left(5-2\cdot \frac{11}{3}\right)^{2}+\left(4-\frac{11}{3}\right)^{2}=\left(\frac{-7}{3}\right)^{2}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}+\frac{1}{9}=\frac{50}{9}\)

 Kết luận
Vậy phương trình chính tắc của đường tròn là:
\(\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}+\left(y-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{50}{9}\)