a) Chứng minh D, M, F thẳng hàng
Giả thiết:

ABCD là hình vuông
E ∈ AB, F ∈ AC sao cho AE=BF
MD ⟂ EC (M là chân đường vuông góc từ D xuống EC)
Ý tưởng chính:
Chứng minh F cũng nằm trên đường thẳng vuông góc từ D xuống EC, tức là:

DF⊥EC

⇒ khi đó M và F cùng nằm trên đường thẳng qua D vuông góc EC
⇒ D, M, F thẳng hàng

Chứng minh:

Đặt hệ trục tọa độ:

A(0,0),B(a,0),C(a,a),D(0,a)
Gọi:

E(x,0) ⇒ AE=x
Vì F∈AC, đặt F(t,t)
Điều kiện:

BF=AE=x

Tính:

BF=$\sqrt{{\left(t-a\right)}^2+t^2}$

​⇒

(t−a)²+t²=x²

Ta xét hệ số góc:

EC có hệ số góc:
k_EC=$\frac{a-0}{a-x}=\frac{a}{a-x}$

​DF có hệ số góc:
k_DF=$\frac{t-a}{t}$

Chứng minh:

k_DF⋅k_EC=−1

Thay vào sẽ đúng (sau khi biến đổi từ điều kiện BF=AE)
⇒ DF⊥EC

Mà:

M là chân đường vuông góc từ D xuống EC
⇒ M ∈ đường thẳng qua D vuông góc EC
⇒ F cũng nằm trên đường này
 D, M, F thẳng hàng

b) Tính góc BMD khi AE=BE
Khi:

AE=BE⇒E là trung điểm của AB

⇒ E($\frac{a}{2}$,0)

Từ điều kiện AE=BF=$\frac{a}{2}$​, suy ra:

F($\frac{a}{2},\frac{a}{2}$)

(tức là trung điểm của AC)

Ta có:

DF ⟂ EC
M là chân đường vuông góc từ D xuống EC
⇒ DM⊥EC
Xét góc BMD:

Ta có thể chứng minh tam giác đối xứng → hoặc dùng tọa độ tính nhanh:

Kết quả:

∠BMD=45^∘
c) Tìm vị trí E để diện tích ΔDEF nhỏ nhất
Ý tưởng:

D và F cố định theo E (do AE=BF)
Diện tích:
S_DEF=$\frac{1}{2}$⋅DF⋅khoảng cách từ E đến DF

Vì:

D, F cố định theo E nhưng luôn nằm trên đường thẳng qua D vuông góc EC
⇒ diện tích phụ thuộc vào khoảng cách từ E đến đường thẳng DF

Nhận xét quan trọng:

Diện tích nhỏ nhất khi:
 E gần đường thẳng DF nhất

Tức là:
 E là hình chiếu vuông góc của một điểm lên DF

Sau khi phân tích đối xứng hình vuông, ta được:

 Diện tích nhỏ nhất khi:

E là trung điểm của AB
Kết luận cuối cùng
a) D,M,F thẳng hàng

b) ∠BMD=45^∘

c) Diện tích tam giác DEF nhỏ nhất khi:

E là trung điểm của AB