Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tóm tắt & Giải chi tiết:
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$

Diện tích đáy $\triangle ABC$ đều cạnh $a$:

$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Xác định đường cao $SH$: $H \in AB$ và $AH = 2HB \Rightarrow AH = \frac{2a}{3}, HB = \frac{a}{3}$.
Góc $(SC, (ABC)) = \widehat{SCH} = 60^\circ$.
Áp dụng định lý hàm số Cosin trong $\triangle HBC$ (có $\widehat{B} = 60^\circ$):

$CH = \sqrt{HB^2 + BC^2 - 2HB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{a}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{3}$
Chiều cao $SH = CH \cdot \tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{7}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{21}}{3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{21}}{3} = \frac{a^3\sqrt{7}}{12}$
b) Tìm vị trí $M$ để $V_{ABC.MN}$ đạt GTLN

Vì $(\alpha) \parallel BC$ nên $MN \parallel BC$ ($N \in SB$). Theo định lý Ta-lét: $\frac{SM}{SC} = \frac{SN}{SB} = k \quad (0 < k < 1)$.
Tỉ số thể tích: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} \cdot \frac{SM}{SC} = k^2$.
Thể tích khối đa diện $V_{ABC.MN} = V_{S.ABC} - V_{S.AMN} = V_{S.ABC}(1 - k^2)$.
Để $V_{ABC.MN}$ đạt GTLN $\Leftrightarrow (1 - k^2)$ đạt GTLN $\Leftrightarrow k^2$ nhỏ nhất.
Tuy nhiên, trong hình chóp, $M$ chạy trên cạnh $SC$ thì $k$ có thể tiến sát về $0$ (khi $M$ tiến về $S$). Khi đó $V_{ABC.MN}$ sẽ tiến sát về $V_{S.ABC}$.
Kết luận:

$V_{ABC.MN}$ lớn nhất khi $k \rightarrow 0$, tức là điểm $M$ trùng với đỉnh $S$.
Giá trị lớn nhất đó là: $V_{max} = V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{7}}{12}$.

...Xem thêm

Answer 2

Tóm tắt & Giải chi tiết:
a) Tính thể tích khối chóp $S.ABC$

Diện tích đáy $\triangle ABC$ đều cạnh $a$:

$S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$
Xác định đường cao $SH$: $H \in AB$ và $AH = 2HB \Rightarrow AH = \frac{2a}{3}, HB = \frac{a}{3}$.
Góc $(SC, (ABC)) = \widehat{SCH} = 60^\circ$.
Áp dụng định lý hàm số Cosin trong $\triangle HBC$ (có $\widehat{B} = 60^\circ$):

$CH = \sqrt{HB^2 + BC^2 - 2HB \cdot BC \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 + a^2 - 2 \cdot \frac{a}{3} \cdot a \cdot \frac{1}{2}} = \frac{a\sqrt{7}}{3}$
Chiều cao $SH = CH \cdot \tan 60^\circ = \frac{a\sqrt{7}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{a\sqrt{21}}{3}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$:

$V_{S.ABC} = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{21}}{3} = \frac{a^3\sqrt{7}}{12}$
b) Tìm vị trí $M$ để $V_{ABC.MN}$ đạt GTLN

Vì $(\alpha) \parallel BC$ nên $MN \parallel BC$ ($N \in SB$). Theo định lý Ta-lét: $\frac{SM}{SC} = \frac{SN}{SB} = k \quad (0 < k < 1)$.
Tỉ số thể tích: $\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABC}} = \frac{SA}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} \cdot \frac{SM}{SC} = k^2$.
Thể tích khối đa diện $V_{ABC.MN} = V_{S.ABC} - V_{S.AMN} = V_{S.ABC}(1 - k^2)$.
Để $V_{ABC.MN}$ đạt GTLN $\Leftrightarrow (1 - k^2)$ đạt GTLN $\Leftrightarrow k^2$ nhỏ nhất.
Tuy nhiên, trong hình chóp, $M$ chạy trên cạnh $SC$ thì $k$ có thể tiến sát về $0$ (khi $M$ tiến về $S$). Khi đó $V_{ABC.MN}$ sẽ tiến sát về $V_{S.ABC}$.
Kết luận:

$V_{ABC.MN}$ lớn nhất khi $k \rightarrow 0$, tức là điểm $M$ trùng với đỉnh $S$.
Giá trị lớn nhất đó là: $V_{max} = V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{7}}{12}$.

Answer 3

hình vẽ : https://images.openai.com/static-rsc-4/bvg-JKcvlqS7wT3s-izJelwriuRiToQzr5nbdeE8Lsa0Mu3dEOlOV6DsQeBPbyMBnDCHn37wWjc50vyik3IIvEFJZ_LJx8Miq9J7USKYPsdhMY0506oxpOuI5pJ0h4cdfg0fkNWGfg6EofbXcODC856oDD20MkXRsJQ5QvOnus5oo2kjkKBNfT-VcHj9hOli?purpose=fullsize

bài giải

✏️ Bước 1: Xác định hình học cơ bản
Tam giác ABCABCABC đều cạnh aaa
→ Diện tích đáy:
SABC=34a2S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2SABC=43a2H∈ABH \in ABH∈AB, AH=2HB⇒AH=2a3,HB=a3AH = 2HB \Rightarrow AH = \frac{2a}{3}, HB = \frac{a}{3}AH=2HB⇒AH=32a,HB=3a

✏️ Bước 2: Dùng góc giữa SCSCSC và mặt phẳng
Góc giữa SCSCSC và đáy là 60∘60^\circ60∘, nên:

sin⁡60∘=SHSC⇒SH=SC⋅32\sin 60^\circ = \frac{SH}{SC} \Rightarrow SH = SC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}sin60∘=SCSH⇒SH=SC⋅23
✏️ Bước 3: Tính HCHCHC
Trong tam giác đều:

Gọi A(0,0),B(a,0),C(a2,32a)A(0,0), B(a,0), C(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a)A(0,0),B(a,0),C(2a,23a)
HHH chia ABABAB theo tỉ lệ 2:1⇒H(2a3,0)2:1 \Rightarrow H(\frac{2a}{3},0)2:1⇒H(32a,0)
HC=(a2−2a3)2+(32a)2=a76HC = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{2a}{3}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)^2} = \frac{a\sqrt{7}}{6}HC=(2a−32a)2+(23a)2=6a7
✏️ Bước 4: Tam giác vuông SHCSHCSHC
SC2=SH2+HC2SC^2 = SH^2 + HC^2SC2=SH2+HC2Kết hợp với SH=SC⋅32SH = SC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}SH=SC⋅23
→ Giải ra:

SH=a216SH = \frac{a\sqrt{21}}{6}SH=6a21
✅ Thể tích khối chóp:
V=13SABC⋅SH=13⋅34a2⋅a216=a36372V = \frac{1}{3} S_{ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot \frac{a\sqrt{21}}{6} = \frac{a^3\sqrt{63}}{72}V=31SABC⋅SH=31⋅43a2⋅6a21=72a363
Phần 2: Tìm vị trí M để thể tích lớn nhất
✏️ Đặt tham số:
Gọi:

SMSC=t(0<t<1)\frac{SM}{SC} = t \quad (0 < t < 1)SCSM=t(0<t<1)
✏️ Nhận xét quan trọng:
Mặt phẳng (AMN)∥BC(AMN) \parallel BC(AMN)∥BC
→ Hình ABC.MNAB C.MNABC.MN là một khối lăng trụ xiên bị cắt
→ Thể tích phụ thuộc tuyến tính theo t(1−t)t(1-t)t(1−t)

✏️ Kết quả tối ưu:
Thể tích đạt cực đại khi:

t=12t = \frac{1}{2}t=21👉 Tức là:
M là trung điểm của SCSCSC

✅ Giá trị lớn nhất:
Vmax=14VS.ABC=14⋅a36372=a363288V_{max} = \frac{1}{4} V_{S.ABC} = \frac{1}{4} \cdot \frac{a^3\sqrt{63}}{72} = \frac{a^3\sqrt{63}}{288}Vmax=41VS.ABC=41⋅72a363=288a363
🎯 Kết luận cuối cùng
Thể tích khối chóp:
V=a36372\boxed{V = \frac{a^3\sqrt{63}}{72}}V=72a363Khi MMM là trung điểm của SCSCSC thì:
Vmax=a363288\boxed{V_{max} = \frac{a^3\sqrt{63}}{288}}Vmax=288a363