Dưới đây là lời giải chi tiết cho 3 câu hỏi vận dụng cao (VDC) mà bạn đã đưa ra. Các bài toán này đòi hỏi sự kết hợp giữa tư duy hình học không gian, khảo sát hàm số và phương pháp tọa độ hóa.

CÂU 4: Khối đa diện & Tỉ số thể tích
Đề bài: Hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. $M$ là trung điểm $SD$, $SN = 2NB$. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $MN // AC$. Tính tỉ số thể tích hai phần.

Giải:
Xác định thiết diện:

Gọi $O = AC \cap BD$. Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $I = MN \cap SO$.
Vì $(\alpha) // AC$ và $AC \subset (ABCD)$, nên $(\alpha) \cap (SAC) = PQ$ với $P \in SA, Q \in SC$ và $PQ // AC$ qua $I$.
Trong $\triangle SBD$, sử dụng định lý Menelaus cho 3 điểm $M, I, N$ thẳng hàng:

$\frac{MS}{MD} \cdot \frac{BD}{BO} \cdot \frac{IO}{IS} = 1 \Rightarrow 1 \cdot 2 \cdot \frac{IO}{IS} = 1 \Rightarrow \frac{IS}{IO} = 2 \Rightarrow \frac{SI}{SO} = \frac{2}{3}$.
Vì $PQ // AC$ nên theo định lý Thales: $\frac{SP}{SA} = \frac{SQ}{SC} = \frac{SI}{SO} = \frac{2}{3}$.
Tính tỉ số thể tích:

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho hình chóp đáy hình bình hành:

Nếu $\frac{SP}{SA}=x, \frac{SN}{SB}=y, \frac{SQ}{SC}=z, \frac{SM}{SD}=t$ thì:

$V_{S.PNQM} = \frac{x+y+z+t}{4} \cdot x \cdot y \cdot z \cdot t$ (không đúng cho mọi trường hợp).
Cách chuẩn: Chia khối chóp thành 2 phần: $V_{S.ADC}$ và $V_{S.ABC}$.

$V_{S.PMQ} = \frac{SP}{SA} \cdot \frac{SM}{SD} \cdot \frac{SQ}{SC} \cdot V_{S.ADC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}V = \frac{1}{9}V$

$V_{S.PNQ} = \frac{SP}{SA} \cdot \frac{SN}{SB} \cdot \frac{SQ}{SC} \cdot V_{S.ABC} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}V = \frac{4}{27}V$

$V_{upper} = V_{S.PMQ} + V_{S.PNQ} = \left(\frac{1}{9} + \frac{4}{27}\right)V = \frac{7}{27}V$.
Thể tích phần còn lại: $V_{lower} = V - \frac{7}{27}V = \frac{20}{27}V$.
Kết quả: Tỉ số thể tích là $7/20$.

CÂU 5: Phương trình Logarit chứa tham số
Đề bài: Tìm $m$ để $\log_2(\cos x + 2) = \frac{1}{2}\cos^2 x + m$ có đúng 4 nghiệm $x \in [0; 2\pi]$.

Giải:
Đặt ẩn phụ:

Đặt $t = \cos x$. Với $x \in [0; 2\pi]$, ta có biểu đồ biến thiên của $\cos x$:

$t = 1 \Rightarrow 1$ nghiệm $x$ ($0$ hoặc $2\pi$).
$t = -1 \Rightarrow 1$ nghiệm $x$ ($\pi$).
$t \in (-1; 1) \Rightarrow 2$ nghiệm $x$.

Để phương trình ban đầu có 4 nghiệm phân biệt, phương trình theo $t$ phải có 2 nghiệm phân biệt $t \in (-1; 1)$.
Cô lập tham số:

Phương trình trở thành: $m = \log_2(t+2) - \frac{1}{2}t^2$.

Xét hàm số $f(t) = \log_2(t+2) - \frac{1}{2}t^2$ trên khoảng $(-1; 1)$.

$f'(t) = \frac{1}{(t+2)\ln 2} - t$.

Xét $f'(t) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{\ln 2} = t(t+2)$. Vì $t \in (-1; 1)$, ta thấy $t(t+2)$ tăng từ $-1$ đến $3$. Giá trị $\frac{1}{\ln 2} \approx 1.44$ thuộc khoảng này, nên tồn tại duy nhất $t_0 \in (0; 1)$ sao cho $f'(t_0) = 0$.
Biện luận:

$f(-1) = \log_2(1) - \frac{1}{2} = -0.5$.
$f(1) = \log_2(3) - \frac{1}{2} \approx 1.08$.
Tại cực đại $t_0$: $f(t_0) > f(1)$.

Để có 2 nghiệm $t \in (-1; 1)$, đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị tại 2 điểm. Dựa vào bảng biến thiên, điều kiện là:

$f(1) < m < f(t_0)$ hoặc các giá trị kẹp giữa tùy thuộc vào độ dốc. Tuy nhiên, với bài toán này, điều kiện chuẩn nhất là $m \in (\log_2 3 - 0.5; f(t_0))$.

CÂU 6: Tọa độ không gian Oxyz (Max-Min)
Đề bài: $(S): (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-3)^2 = 9$ (tâm $I(1; -2; 3), R=3$). Tìm Max $P = |2\vec{MA} - 3\vec{MB}|$.

Giải:
Phương pháp tâm tỉ cự:

Tìm điểm $K$ sao cho $2\vec{KA} - 3\vec{KB} = \vec{0} \Rightarrow \vec{OK} = \frac{2\vec{OA} - 3\vec{OB}}{2-3}$.

$A(0; 0; 1), B(1; 2; 3)$.

$x_K = \frac{2(0) - 3(1)}{-1} = 3$

$y_K = \frac{2(0) - 3(2)}{-1} = 6$

$z_K = \frac{2(1) - 3(3)}{-1} = 7$.

Vậy $K(3; 6; 7)$.
Biến đổi biểu thức $P$:

$P = |2(\vec{MK} + \vec{KA}) - 3(\vec{MK} + \vec{KB})| = |-\vec{MK} + (2\vec{KA} - 3\vec{KB})| = |-\vec{MK}| = MK$.

Bài toán trở thành: Tìm $M \in (S)$ để $MK$ lớn nhất.
Tính toán:

Khoảng cách từ tâm $I(1; -2; 3)$ của mặt cầu đến điểm $K(3; 6; 7)$:

$IK = \sqrt{(3-1)^2 + (6-(-2))^2 + (7-3)^2} = \sqrt{2^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 64 + 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$.
Giá trị lớn nhất của $MK$ là:

$P_{max} = IK + R = 2\sqrt{21} + 3$.
Kết quả: $P_{max} = 3 + 2\sqrt{21}$.