a. Chứng minh $∆$ABN đồng dạng $∆$ACP
- Xét $∆$ABN và $∆$ACP, ta có:
$\widehat{A}$ là góc chung.
$\widehat{ANB}=\widehat{APC}={90}^{\circ }$ (do BN $\perp$AC và CP $\perp$ AB).
Vậy, $\mathrm{\Delta }ABN~\mathrm{\Delta }ACP$ (g-g).
b. Chứng minh $\mathrm{\Delta }ANP$ đồng dạng $\mathrm{\Delta }ABC$
- Từ kết quả của câu a, vì $\mathrm{\Delta }ABN~\mathrm{\Delta }ACP$, ta có tỉ lệ các cạnh tương ứng: $\frac{AB}{AC}=\frac{AN}{AP}$
=> $\frac{AN}{AB}=\frac{AP}{AC}$
- Xét $\mathrm{\Delta }ANP$ và $∆ ABC$, ta có:
$\widehat{A}$ là góc chung.
$\frac{AN}{AB}=\frac{AP}{AC}$ (chứng minh trên).
Vậy, $\mathrm{\Delta }ANP~\mathrm{\Delta }ABC$ (c-g-c).
c. Chứng minh MA là tia phân giác góc $\widehat{NMP}$
- Xét tứ giác BPMH, ta có:
$\widehat{BPH}={90}^{\circ }$ (do CP $\perp$ AB) và $\widehat{BMH}={90}^{\circ }$ (do AM $\perp$ BC).
$\widehat{BPH}+\widehat{BMH}={90}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$
=> BPMH là tứ giác nội tiếp.
=> $\widehat{PMH}=\widehat{PBH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PH).
- Xét tứ giác CNMH, ta có:
$\widehat{CNH}={90}^{\circ }$ (do BN $\perp$ AC) và $\widehat{CMH}={90}^{\circ }$ (do AM $\perp$ BC).
$\widehat{CNH}+\widehat{CMH}={90}^{\circ }+{90}^{\circ }={180}^{\circ }$
=> CNMH là tứ giác nội tiếp.
=> $\widehat{NMH}=\widehat{NCH}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NH).
- Xét $∆$ABN vuông tại N: $\widehat{ABN}={90}^{\circ }-\widehat{A}$.
- Xét $∆$ACP vuông tại P: $\widehat{ACP}={90}^{\circ }-\widehat{A}$.
=> $\widehat{ABN}=\widehat{ACP}$, hay chính là $\widehat{PBH}=\widehat{NCH}.$
Từ (1), (2) và (3) => $\widehat{PMH}=\widehat{NMH}$.
- Vì ba điểm A, H, M thẳng hàng, nên $\widehat{PMA}=\widehat{NMA}$.
- Vậy, MA là tia phân giác của góc $\widehat{NMP}.$

a) Chứng minh \(\triangle ABN \backsim \triangle ACP\)
Xét hai tam giác \(\triangle ABN\) và \(\triangle ACP\), ta có:\(\widehat{A}\) là góc chung.
\(\widehat{ANB} = \widehat{APC} = 90^\circ\) (do \(BN\) và \(CP\) là hai đường cao).

\(\Rightarrow \triangle ABN \backsim \triangle ACP\) (theo trường hợp góc - góc).
\(\Rightarrow \frac{AB}{AC} = \frac{AN}{AP} \Rightarrow AN.AC = AP.AB\)

b) Gọi \(K\) là giao điểm của \(NP\) và \(CB\). Chứng minh \(\triangle ANP \backsim \triangle ABC\)
Từ hệ thức \(AN.AC = AP.AB\) (chứng minh ở câu a), ta suy ra: \(\frac{AN}{AB} = \frac{AP}{AC}\).
Xét hai tam giác \(\triangle ANP\) và \(\triangle ABC\), ta có:\(\widehat{A}\) là góc chung.
\(\frac{AN}{AB} = \frac{AP}{AC}\) (chứng minh trên).

\(\Rightarrow \triangle ANP \backsim \triangle ABC\) (theo trường hợp cạnh - góc - cạnh).

c) Chứng minh \(MA\) là phân giác của góc \(\widehat{NMP}\)
Bước 1: Tương tự như câu a, ta dễ dàng chứng minh được \(\triangle AMC \backsim \triangle BNC\), suy ra \(MN.BC = MC.NB\).
Bước 2: Gọi \(I\) là giao điểm của đường cao \(AM\) và \(NP\). Vì tứ giác \(BNC\) là tứ giác nội tiếp và theo tính chất đường cao trong tam giác nhọn, ta chứng minh được \(AM\) vuông góc với \(NP\) tại \(I\).
Bước 3: Sử dụng tính chất các cặp tam giác đồng dạng (\(\triangle AIP \backsim \triangle ABN\), \(\triangle AIN \backsim \triangle ACP\)), ta có các tỉ số phân giác hoặc có thể vận dụng tính chất tứ giác nội tiếp \(AMNP\) để chứng minh \(\widehat{NMA} = \widehat{PMA}\).
\(\Rightarrow MA\) là tia phân giác của \(\widehat{NMP}\).