Giải
Tổng số học sinh: 9 bạn (các bạn này là những cá nhân khác nhau).
Số nhóm: 3 nhóm có tên gọi phân biệt (Hậu cần, Bếp chính, Trang trí).
Điều kiện bắt buộc: Mỗi nhóm phải có ít nhất 2 bạn.
Ta gọi số lượng thành viên của 3 nhóm lần lượt là x, y, z. Ta có phương trình:
x + y + z = 9 (với x, y, z $\ge 2$).
- Các bộ số (x, y, z) thỏa mãn điều kiện trên chỉ có thể rơi vào 3 trường hợp:
+ Trường hợp 1: Một nhóm 5 người, hai nhóm 2 người ({5, 2, 2}).
+ Trường hợp 2: Một nhóm 4 người, một nhóm 3 người, một nhóm 2 người ({4, 3, 2}).
+ Trường hợp 3: Ba nhóm, mỗi nhóm 3 người ({3, 3, 3}).
Bây giờ, ta sẽ tính số cách phân công (T) cho từng trường hợp:

Trường hợp 1: Các nhóm có số lượng {5, 2, 2}
- Chọn số lượng cho các nhóm: Có 3 cách để chọn ra nhóm nào sẽ có 5 người (nhóm Hậu cần, hoặc Bếp chính, hoặc Trang trí). Hai nhóm còn lại mặc định mỗi nhóm 2 người.
- Chia người vào nhóm: * Chọn 5 bạn cho nhóm 5 người: Có $C_9^5$ cách.
+ Chọn 2 bạn cho nhóm 2 người thứ nhất: Có $C_4^2$ cách.
+ Chọn 2 bạn cho nhóm 2 người cuối cùng: Có $C_2^2$ cách.
- Số cách phân công ở TH1:
$3\times (C_9^5\times C_4^2\times C_2^2)=3\times (126\times 6\times 1)=2268$ cách.
Trường hợp 2: Các nhóm có số lượng {4, 3, 2}
- Chọn số lượng cho các nhóm: Có $3! = 6$ cách để phân phối 3 con số (4, 3, 2) cho 3 nhóm có tên khác nhau.
- Chia người vào nhóm:
+ Chọn 4 bạn cho nhóm 4 người: Có $C_9^4$ cách.
+ Chọn 3 bạn cho nhóm 3 người: Có $C_5^3$ cách.
+ Chọn 2 bạn cho nhóm 2 người: Có $C_2^2$ cách.
- Số cách phân công ở TH2:
$6\times (C_9^4\times C_5^3\times C_2^2)=6\times (126\times 10\times 1)=7560$ cách.
Trường hợp 3: Các nhóm có số lượng {3, 3, 3}
- Chọn số lượng cho các nhóm: Chỉ có 1 cách duy nhất vì cả 3 nhóm đều có 3 người.
- Chia người vào nhóm:
+ Chọn 3 bạn cho nhóm Hậu cần: Có $C_9^3$ cách.
+ Chọn 3 bạn cho nhóm Bếp chính: Có $C_6^3$ cách.
+ Chọn 3 bạn cho nhóm Trang trí: Có $C_3^3$ cách.
=> Số cách phân công ở TH3: $1\times (C_9^3\times C_6^3\times C_3^3)=1\times (84\times 20\times 1)=1680$ cách.
Tổng số cách phân công 9 thành viên vào 3 nhóm (T) là tổng của cả 3 trường hợp:
T = 2268 + 7560 + 1680 = 11508
Đề bài yêu cầu tìm giá trị của $\frac{T}{3}:$ $\frac{T}{3}=\frac{11508}{3}=3836$