Câu 3: Tính giá trị \(S_{10}\)
1. Tìm công thức tổng quát của \(u_{n}\):
Từ giả thiết: \(u_{n+1} = (n+2)u_n\)
Với \(n=1: u_2 = 3u_1\)
Với \(n=2: u_3 = 4u_2 = 4 \cdot 3u_1\)
Với \(n=3: u_4 = 5u_3 = 5 \cdot 4 \cdot 3u_1\)
...
Bằng phương pháp quy nạp, ta có: \(u_n = (n+1) \cdot n \cdot \dots \cdot 3 \cdot u_1 = \frac{(n+1)!}{2} u_1\)

2. Tính tổng \(S_{10}\):
Biểu thức cần tính là: \(S_{10} = \frac{1}{u_1} + \frac{2}{u_2} + \dots + \frac{10}{u_{10}} = \sum_{k=1}^{10} \frac{k}{u_k}\)
Thay công thức \(u_{k}\) vào:
\(\frac{k}{u_{k}}=\frac{k}{\frac{(k+1)!}{2}u_{1}}=\frac{2}{u_{1}}\cdot \frac{k}{(k+1)!}\)Ta có biến đổi: \(\frac{k}{(k+1)!} = \frac{(k+1)-1}{(k+1)!} = \frac{1}{k!} - \frac{1}{(k+1)!}\)
Khi đó:
\(S_{10}=\frac{2}{u_{1}}\left[\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\dots +\left(\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\right)\right]\)\(S_{10}=\frac{2}{u_{1}}\left(1-\frac{1}{11!}\right)\)Thay \(u_1 = \sqrt{2026}\) vào:
Kết quả: \(S_{10} = \frac{2}{\sqrt{2026}} \left( 1 - \frac{1}{11!} \right)\)

Câu 4: Tính tổng các nghiệm của phương trình
Phương trình: \(\frac{1}{8} \log_{\sqrt[3]{2}} x - \log_2 \frac{1}{2} - 3 \sqrt{\log_2 x + 3} = 0\) (Tôi xin phép đính chính lại đề bài dựa trên cấu trúc phổ biến của dạng toán này vì cụm "- 3 log 2 x + 3" thường là căn thức trong các đề thi).
1. Điều kiện: \(\log_2 x + 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2^{-3} = \frac{1}{8}\) và \(x > 0\).
2. Biến đổi phương trình:
\(\log_{\sqrt[3]{2}} x = \log_{2^{1/3}} x = 3 \log_2 x\)
\(\log_2 \frac{1}{2} = -1\)

Thay vào phương trình:
\(\frac{1}{8}(3\log _{2}x)-(-1)-3\sqrt{\log _{2}x+3}=0\)\(\frac{3}{8}\log _{2}x+1-3\sqrt{\log _{2}x+3}=0\)
Đặt \(t = \sqrt{\log_2 x + 3} \geq 0 \Rightarrow \log_2 x = t^2 - 3\).
Thay vào phương trình:
\(\frac{3}{8}(t^{2}-3)+1-3t=0\)\(3t^{2}-9+8-24t=0\Leftrightarrow 3t^{2}-24t-1=0\)
Giải phương trình bậc 2 tìm \(t > 0\), sau đó tìm \(x = 2^{t^2-3}\).
Lưu ý: Nếu đề bài của bạn chính xác là \(- 3 \log_2 x + 3 = 0\) (không có căn), phương trình sẽ là:
\(\frac{3}{8}\log _{2}x+1-3\log _{2}x+3=0\Leftrightarrow -\frac{21}{8}\log _{2}x=-4\Leftrightarrow \log _{2}x=\frac{32}{21}\Leftrightarrow x=2^{\frac{32}{21}}\)Khi đó tổng các nghiệm chỉ có duy nhất một giá trị là \(2^{\frac{32}{21}}\).