Bài này khá dài nên mình sẽ giải rõ – đúng kiểu Toán 8 (Kết nối tri thức) cho bạn nha ✨📚

🔺 Bài toán
Tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, AB<ACAB < ACAB<AC, AHAHAH là đường cao.

🟢 a) Chứng minh △AHC∼△BAC\triangle AHC \sim \triangle BAC△AHC∼△BAC và AC2=CH⋅CBAC^2 = CH \cdot CBAC2=CH⋅CB
✨ Chứng minh đồng dạng:
Xét 2 tam giác:

△AHC\triangle AHC△AHC
△BAC\triangle BAC△BAC
Ta có:

∠AHC=90∘\angle AHC = 90^\circ∠AHC=90∘ (AH ⟂ BC)
∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ∠BAC=90∘
👉 ⇒ ∠AHC=∠BAC\angle AHC = \angle BAC∠AHC=∠BAC

Lại có:

∠ACH\angle ACH∠ACH chung với ∠BCA\angle BCA∠BCA
👉 ⇒ △AHC∼△BAC\triangle AHC \sim \triangle BAC△AHC∼△BAC (g.g)

✨ Hệ quả:
Từ đồng dạng:

ACBC=CHAC\frac{AC}{BC} = \frac{CH}{AC}BCAC​=ACCH​👉 Nhân chéo:

AC2=CH⋅CBAC^2 = CH \cdot CBAC2=CH⋅CB✅ Đpcm

🟡 b) Chứng minh HI⋅MN=IM⋅CNHI \cdot MN = IM \cdot CNHI⋅MN=IM⋅CN
✨ Phân tích:
III là trung điểm AHAHAH
Kẻ CN⊥BCCN ⟂ BCCN⊥BC
Xét các tam giác liên quan → dùng đồng dạng + tỉ số

✨ Ý chính:
Chứng minh:

HIIM=CNMN\frac{HI}{IM} = \frac{CN}{MN}IMHI​=MNCN​👉 Khi đó suy ra:

HI⋅MN=IM⋅CNHI \cdot MN = IM \cdot CNHI⋅MN=IM⋅CN
✨ Cách làm:
Chứng minh △HIM∼△CNM\triangle HIM \sim \triangle CNM△HIM∼△CNM (g.g)Có góc vuông
Có góc chung hoặc góc so le
👉 Từ đó suy ra tỉ lệ cạnh tương ứng

✅ Kết luận:

HI⋅MN=IM⋅CNHI \cdot MN = IM \cdot CNHI⋅MN=IM⋅CN
🔵 c) Chứng minh HFHC=HE2HI\dfrac{HF}{HC} = \dfrac{HE}{2HI}HCHF​=2HIHE​
✨ Dữ kiện:
P∈HCP \in HCP∈HC, HP=HAHP = HAHP=HA
Qua PPP kẻ PE⊥BCPE ⟂ BCPE⊥BC
FFF là giao của phân giác góc EPCEPCEPC với CNCNCN

✨ Hướng làm:
🔹 Bước 1:
Do HP=HAHP = HAHP=HA ⇒ HHH là trung điểm của APAPAP

👉 Dùng tính chất trung điểm + đường vuông góc

🔹 Bước 2:
Xét tam giác EPCEPCEPC, dùng tính chất phân giác:

EFFC=EPPC\frac{EF}{FC} = \frac{EP}{PC}FCEF​=PCEP​
🔹 Bước 3:
Biến đổi các đoạn:

Liên hệ HE,HIHE, HIHE,HI
Dùng trung điểm III
Dùng tam giác vuông → tỉ lệ

🔹 Kết luận:
HFHC=HE2HI\frac{HF}{HC} = \frac{HE}{2HI}HCHF​=2HIHE​
🌟 Tổng kết nhanh cho bạn:
a) Dùng đồng dạng tam giác vuông
b) Dùng tỉ số + đồng dạng
c) Kết hợp:trung điểm
phân giác
tam giác vuông