Ta có đường thẳng (d): y = (m² − m + 1)x + 3, khi đó y = kx + 3y = kx + 3y = kx + 3.
1. Giao điểm với các trục tọa độ
Với trục Oy: x = 0 ⇒ y = 3 ⇒ A(0, 3)
Với trục Ox: y = 0 ⇒ kx + 3 = 0 ⇒ x = $- \frac{3}{k}$ ⇒ $B\left(-\frac{3}{k},0\right)$
Tam giác tạo bởi (d) và hai trục có các đỉnh: O(0,0), A(0,3), $B\left(-\frac{3}{k},0\right)$
2. Diện tích tam giác
S = $\frac{1}{2}\cdot |OA|\cdot |OB|=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \left|\frac{3}{k}\right|=\frac{9}{2\left|k\right|}$
- ​Xét: k = m² − m + 1
Ta có: Δ = (−1)² − 4 .1.1 = −3 < 0 ⇒ k > 0 ∀m ⇒ S = $\frac{9}{2k}$. 
- Diện tích lớn nhất khi k nhỏ nhất.
k = ${(m-\frac{1}{2})}^2+\frac{3}{4}$ ​⇒ giá trị nhỏ nhất của k là $\frac{3}{4}$​ khi m = $\frac{1}{2}$
Vậy: m = $\frac{1}{2}$ ​​( Khi đó diện tích lớn nhất bằng 6 ).

Chào bạn, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán tìm giá trị của mm để đường thẳng đã cho tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích lớn nhất.

Đề bài: Cho đường thẳng (d)(d): y=(m2−m+1)x+3y=(m2−m+1)x+3. Tìm mm để đường thẳng (d)(d) tạo với hai trục tọa độ OxOx, OyOy một tam giác có diện tích lớn nhất.

Giải:

Để đường thẳng (d)(d) tạo thành một tam giác với hai trục tọa độ, nó phải cắt cả trục OxOx và trục OyOy tại các điểm khác gốc tọa độ.

Tìm giao điểm với trục tung (Oy): Khi x=0x=0, ta có: y=(m2−m+1)(0)+3=3y=(m2−m+1)(0)+3=3 Vậy, giao điểm với trục OyOy là điểm A có tọa độ (0,3)(0,3). Độ dài đoạn OA (trên trục OyOy) là ∣3∣=3∣3∣=3.
Tìm giao điểm với trục hoành (Ox): Khi y=0y=0, ta có: 0=(m2−m+1)x+30=(m2−m+1)x+3 Để phương trình có nghiệm xx khác 0, điều kiện cần là hệ số của xx, tức là a=m2−m+1a=m2−m+1, phải khác 0. Ta xét tam thức bậc hai f(m)=m2−m+1f(m)=m2−m+1. Delta của tam thức này là Δ=(−1)2−4(1)(1)=1−4=−3Δ=(−1)2−4(1)(1)=1−4=−3. Vì Δ<0Δ<0 và hệ số a=1>0a=1>0, nên m2−m+1>0m2−m+1>0 với mọi m∈Rm∈R. Do đó, hệ số góc luôn dương và khác 0. Từ đó, ta tìm được hoành độ giao điểm với trục OxOx: x=−3m2−m+1x=m2−m+1−3​ Vậy, giao điểm với trục OxOx là điểm B có tọa độ (−3m2−m+1,0)(m2−m+1−3​,0). Độ dài đoạn OB (trên trục OxOx) là ∣−3m2−m+1∣=3m2−m+1​m2−m+1−3​​=m2−m+13​ (vì m2−m+1>0m2−m+1>0).
Tính diện tích tam giác: Tam giác tạo bởi đường thẳng (d)(d) và hai trục tọa độ có ba đỉnh là gốc tọa độ O(0,0)O(0,0), điểm A(0,3)A(0,3) và điểm B(−3m2−m+1,0)B(m2−m+1−3​,0). Đây là tam giác vuông tại gốc tọa độ. Diện tích tam giác SS được tính bằng công thức: S=12×độ daˋi đaˊy×chieˆˋu caoS=21​×độ daˋi đaˊy×chieˆˋu cao S=12×OB×OAS=21​×OB×OA S=12×3m2−m+1×3S=21​×m2−m+13​×3 S=92(m2−m+1)S=2(m2−m+1)9​
Tìm mm để diện tích lớn nhất: Để diện tích SS đạt giá trị lớn nhất, mẫu số 2(m2−m+1)2(m2−m+1) phải đạt giá trị nhỏ nhất. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức f(m)=m2−m+1f(m)=m2−m+1. Đây là một tam thức bậc hai có dạng am2+bm+cam2+bm+c với a=1,b=−1,c=1a=1,b=−1,c=1. Vì a=1>0a=1>0, parabol có bề lõm hướng lên trên, nên giá trị nhỏ nhất của f(m)f(m) đạt được tại đỉnh của parabol. Hoành độ đỉnh (giá trị của mm) được tính bằng công thức m=−b2am=2a−b​. m=−(−1)2(1)=12m=2(1)−(−1)​=21​ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức m2−m+1m2−m+1 khi m=1/2m=1/2 là: f(12)=(12)2−12+1=14−12+1=1−2+44=34f(21​)=(21​)2−21​+1=41​−21​+1=41−2+4​=43​.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của mẫu số là 2×34=322×43​=23​.
Giá trị lớn nhất của diện tích: Khi mẫu số nhỏ nhất, diện tích SS lớn nhất. Smax=93/2=9×23=6Smax​=3/29​=9×32​=6
Giá trị của mm làm cho diện tích tam giác lớn nhất chính là giá trị làm cho mẫu số nhỏ nhất, tức là m=1/2m=1/2.

Kết luận: Để đường thẳng (d)(d) tạo với hai trục tọa độ OxOx, OyOy một tam giác có diện tích lớn nhất, giá trị của mm là m=12m=21​.

Nếu bạn muốn, chúng ta có thể kiểm tra lại các bước tính toán hoặc xem xét các trường hợp đặc biệt khác.