a) Chứng minh BHCTBHCTBHCT là hình bình hành
Ta có:

MMM là trung điểm của BCBCBC
TTT thuộc tia đối của MHMHMH và MH=MTMH = MTMH=MT
⇒ MMM cũng là trung điểm của HTHTHT

👉 Như vậy:

MMM là trung điểm của BCBCBC
MMM là trung điểm của HTHTHT
⇒ Hai đoạn BCBCBC và HTHTHT cắt nhau tại trung điểm

⟹ Tứ giác BHCTBHCTBHCT là hình bình hành (vì hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm)

b) Chứng minh BE⋅AC=AE⋅BHBE \cdot AC = AE \cdot BHBE⋅AC=AE⋅BH và ∠BAE=∠CAT\angle BAE = \angle CAT∠BAE=∠CAT
✦ Chứng minh BE⋅AC=AE⋅BHBE \cdot AC = AE \cdot BHBE⋅AC=AE⋅BH
Ta có:

AE⊥BCAE ⟂ BCAE⊥BC ⇒ ∠AEB=90∘\angle AEB = 90^\circ∠AEB=90∘
BF⊥ACBF ⟂ ACBF⊥AC ⇒ HHH là trực tâm
Xét hai tam giác vuông:

△AEB\triangle AEB△AEB
△BHC\triangle BHC△BHC
Ta có:

∠AEB=∠BHC=90∘\angle AEB = \angle BHC = 90^\circ∠AEB=∠BHC=90∘
∠ABE=∠BCH\angle ABE = \angle BCH∠ABE=∠BCH
⇒ △AEB∼△BHC\triangle AEB \sim \triangle BHC△AEB∼△BHC

⟹ AEBE=BHAC\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{BH}{AC}BEAE​=ACBH​

⇒ BE⋅AC=AE⋅BHBE \cdot AC = AE \cdot BHBE⋅AC=AE⋅BH ✅

✦ Chứng minh ∠BAE=∠CAT\angle BAE = \angle CAT∠BAE=∠CAT
Từ câu a:

BHCTBHCTBHCT là hình bình hành ⇒ CT∥BHCT ∥ BHCT∥BH
Mà:

BH⊥ACBH ⟂ ACBH⊥AC ⇒ CT⊥ACCT ⟂ ACCT⊥AC
⇒ ∠CAT=90∘−∠C\angle CAT = 90^\circ - \angle C∠CAT=90∘−∠C

Mặt khác:

AE⊥BCAE ⟂ BCAE⊥BC ⇒ ∠BAE=90∘−∠C\angle BAE = 90^\circ - \angle C∠BAE=90∘−∠C
⟹ ∠BAE=∠CAT\angle BAE = \angle CAT∠BAE=∠CAT ✅

c) Chứng minh HK⊥ANHK ⟂ ANHK⊥AN
Ta có:

ANANAN là phân giác góc AAA
Từ b: ∠BAE=∠CAT\angle BAE = \angle CAT∠BAE=∠CAT
⇒ AEAEAE và ATATAT đối xứng qua ANANAN

👉 Suy ra:

HHH và TTT đối xứng qua ANANAN
⇒ ANANAN là trung trực của HTHTHT

⟹ AN⊥HTAN ⟂ HTAN⊥HT

Mà:

NK⊥ACNK ⟂ ACNK⊥AC
HHH nằm trên đường cao ⇒ liên hệ trực giao
Suy ra:

HK⊥ANHK ⟂ ANHK⊥AN
✨ Kết luận
a) BHCTBHCTBHCT là hình bình hành
b) BE⋅AC=AE⋅BHBE \cdot AC = AE \cdot BHBE⋅AC=AE⋅BH, ∠BAE=∠CAT\angle BAE = \angle CAT∠BAE=∠CAT
c) HK⊥ANHK ⟂ ANHK⊥AN