Bài giải chi tiết:
1. Phân tích quy luật của dãy số:

Ta có công thức: $u_{n+1} = (n+2)u_n$

Suy ra: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = n+2$ hay $\frac{1}{u_n} = \frac{n+2}{u_{n+1}}$

2. Biến đổi số hạng tổng quát của tổng S:

Xét số hạng tổng quát của tổng $S$ là $\frac{n}{u_n}$ (với $n \ge 1$).

Ta có mẹo biến đổi tử số: $n = (n+1) - 1$.

Khi đó:

$\frac{n}{u_n} = \frac{n+1}{u_n} - \frac{1}{u_n}$
Dựa vào công thức đề bài $u_n = \frac{u_{n+1}}{n+2}$, ta thay vào biểu thức trên:

$\frac{n}{u_n} = \frac{(n+1)(n+2)}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n}$
3. Áp dụng vào từng số hạng của $S_{10}$:

Với $n=1$: $\frac{1}{u_1}$ (giữ nguyên hoặc viết thành $\frac{2 \cdot 1}{u_1}$ tùy cách triệt tiêu)
Với $n=2$: $\frac{2}{u_2} = \frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_2}$ (đây là chìa khóa của bài toán)
Với $n=3$: $\frac{3}{u_3} = \frac{1}{u_2} - \frac{1}{u_3}$

...
Với $n=10$: $\frac{10}{u_{10}} = \frac{1}{u_9} - \frac{1}{u_{10}}$
4. Tính tổng $S_{10}$:

$S_{10} = \frac{1}{u_1} + \frac{2}{u_2} + \frac{3}{u_3} + \dots + \frac{10}{u_{10}}$

$S_{10} = \frac{1}{u_1} + (\frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_2}) + (\frac{1}{u_2} - \frac{1}{u_3}) + \dots + (\frac{1}{u_9} - \frac{1}{u_{10}})$

Cộng các hạng tử lại, các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

$S_{10} = \frac{1}{u_1} + \frac{1}{u_1} - \frac{1}{u_{10}}$

$S_{10} = \frac{2}{u_1} - \frac{1}{u_{10}}$

5. Thay giá trị vào kết quả:

Với $u_1 = \sqrt{2026}$.

Tính $u_{10}$ theo $u_1$:

$u_2 = 3u_1$

$u_3 = 4u_2 = 4 \cdot 3u_1$

...

$u_{10} = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \dots \cdot 3u_1 = \frac{11!}{2} u_1$

Vậy kết quả cuối cùng là:

$S_{10} = \frac{2}{\sqrt{2026}} - \frac{2}{11! \cdot \sqrt{2026}}$