a) Xét $△$HBF và $△$HCE có:

$\widehat{HFB} = \widehat{HEC} = 90°$

$\widehat{BHF} = \widehat{CHE}$ (2 góc đối đỉnh)

Nên △HBF đồng dạng △HCE (g.g)

b) Có △HBF đồng dạng △HCE  => $\frac{HB}{HC} = \frac{HF}{HE}$  => HB.HE = HC.HF   (1)

Xét △AHE và △BHD có:

$\widehat{AHE} = \widehat{BHD}$ (2 góc đối đỉnh)

$\widehat{AEH} = \widehat{BDH} = 90°$

Nên △AHE đồng dạng △BHD (g.g)  => $\frac{HA}{HB} = \frac{HE}{HD}$  => HA.HD = HB.HE  (2)

Từ (1) và (2) => HA.HD = HB.HE =HC.HF

Giải bài toán Tam giác nhọn và Ba đường cao
Giả thiết:

$\triangle ABC$ nhọn.
$AD \perp BC, BE \perp AC, CF \perp AB$ (với $D \in BC, E \in AC, F \in AB$).
$AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$.

a) Chứng minh $\triangle HBF \sim \triangle HCE$
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng trong chương trình lớp 7 (thường dùng ở học kì 2), chúng ta xét các cặp góc bằng nhau:

Xét $\triangle HBF$ và $\triangle HCE$ có:

$\widehat{HFB} = \widehat{HEC} = 90^\circ$ (vì $CF \perp AB$ và $BE \perp AC$).
$\widehat{BHF} = \widehat{CHE}$ (hai góc đối đỉnh).
Kết luận:

$\triangle HBF \sim \triangle HCE$ (theo trường hợp Góc - Góc).

b) Chứng minh $HA \cdot HD = HB \cdot HE = HC \cdot HF$
Để chứng minh các đẳng thức tích này, chúng ta sẽ chia thành từng cặp và sử dụng tam giác đồng dạng để lập tỉ số.

Bước 1: Chứng minh $HB \cdot HE = HC \cdot HF$
Từ kết quả câu (a): $\triangle HBF \sim \triangle HCE$.
Ta lập tỉ số đồng dạng: $\frac{HB}{HC} = \frac{HF}{HE}$ (các cạnh tương ứng).
Nhân chéo ta được: $HB \cdot HE = HC \cdot HF$ (1).
Bước 2: Chứng minh $HA \cdot HD = HB \cdot HE$
Xét $\triangle HAE$ và $\triangle HBD$ có:

$\widehat{HEA} = \widehat{HDB} = 90^\circ$ (vì $BE \perp AC$ và $AD \perp BC$).
$\widehat{AHE} = \widehat{BHD}$ (hai góc đối đỉnh).
Suy ra $\triangle HAE \sim \triangle HBD$ (Góc - Góc).
Lập tỉ số đồng dạng: $\frac{HA}{HB} = \frac{HE}{HD}$.
Nhân chéo ta được: $HA \cdot HD = HB \cdot HE$ (2).
Bước 3: Kết luận
Từ (1) và (2), theo tính chất bắc cầu, ta có:

$HA \cdot HD = HB \cdot HE = HC \cdot HF$ (Đpcm).