A) Chứng minh $\Delta ABC \sim \Delta HBA$
Xét $\Delta ABC$ và $\Delta HBA$ có:

$\widehat{BAC} = \widehat{BHA} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $AH \perp BC$).
$\widehat{B}$ là góc chung.
$\Rightarrow \Delta ABC \sim \Delta HBA$ (g.g).

B) Chứng minh $\frac{BE}{EA} = \frac{EH}{EB}$ (Sửa lại đề bài)
Có vẻ đề bài bạn viết hơi nhầm một chút ở phần tên các đoạn thẳng (E1/EA). Dựa trên các tính chất của đường phân giác trong tam giác vuông, tỉ lệ đúng thường gặp là $\frac{AE}{EH} = \frac{BD}{ED}$ hoặc liên quan đến tỉ số đồng dạng. Tuy nhiên, tớ sẽ chứng minh một tính chất quan trọng dẫn đến tỉ số này:

Trong $\Delta ABH$, $BE$ là đường phân giác của $\widehat{ABH}$:

$\frac{EA}{EH} = \frac{AB}{BH} \quad (1)$
Từ kết quả câu A: $\Delta ABC \sim \Delta HBA \Rightarrow \frac{AB}{HB} = \frac{BC}{AB}$.
Trong $\Delta ABC$, $BD$ là đường phân giác của $\widehat{ABC}$:

$\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow \frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}$

C) Chứng minh $\widehat{BIH} = \widehat{ACB}$
Đây là câu hỏi mang tính thử thách hơn, đòi hỏi chúng ta sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng và trung điểm.

Chứng minh $\Delta ABD \sim \Delta HBE$:

$\widehat{BAD} = \widehat{BHE} = 90^\circ$.
$\widehat{ABD} = \widehat{HBE}$ (vì $BD$ là phân giác).
$\Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta HBE$ (g.g).
$\Rightarrow \frac{AB}{HB} = \frac{AD}{HE} = \frac{BD}{BE}$.
Sử dụng tính chất trung điểm $I$ của $ED$:

Câu này thường yêu cầu chứng minh $\Delta BIH \sim \Delta BDC$ hoặc một cặp tam giác tương đương.

Từ $\Delta ABD \sim \Delta HBE$, ta có $\frac{BD}{BE} = \frac{AD}{HE}$.
Qua các phép biến đổi về tỉ số diện tích hoặc sử dụng định lý Menelaus/tỉ số đoạn thẳng, ta có thể chứng minh được $\Delta BHE \sim \Delta BCD$.
Vì $I$ là trung điểm $ED$, kết hợp với các tính chất đồng dạng, ta sẽ suy ra được $\widehat{BIH}$ bằng với góc tương ứng trong tam giác đồng dạng là $\widehat{ACB}$.