Biểu thức ban đầu:

$A = \left( \frac{x+2}{x^2+2x+1} - \frac{x-2}{x^2-1} \right) : \frac{2x^2+x}{x^3+x^2-x-1}$

1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) và Rút gọn A
a) Tìm điều kiện xác định
Các mẫu thức phải khác 0:

$x^2+2x+1 = (x+1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$ và $x \neq -1$
$x^3+x^2-x-1 = x^2(x+1)-(x+1) = (x^2-1)(x+1) = (x-1)(x+1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -1$
Phân thức chia phải khác 0 (tử thức $2x^2+x \neq 0$): $x(2x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ và $x \neq -1/2$
ĐKXĐ: $x \neq 1; x \neq -1; x \neq 0; x \neq -1/2$.

b) Rút gọn biểu thức A
Ta xử lý phần trong ngoặc trước:

$\frac{x+2}{(x+1)^2} - \frac{x-2}{(x-1)(x+1)} = \frac{(x+2)(x-1) - (x-2)(x+1)}{(x-1)(x+1)^2}$

$= \frac{(x^2+x-2) - (x^2-x-2)}{(x-1)(x+1)^2} = \frac{2x}{(x-1)(x+1)^2}$

Bây giờ thực hiện phép chia (nhân nghịch đảo):

$A = \frac{2x}{(x-1)(x+1)^2} \cdot \frac{(x-1)(x+1)^2}{x(2x+1)}$

Rút gọn các cụm giống nhau ở tử và mẫu, ta được:

$A = \frac{2}{2x+1}$

2. Tính giá trị của A tại x = -3
Thay $x = -3$ (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $A$:

$A = \frac{2}{2(-3)+1} = \frac{2}{-5} = -0,4$

3. Tính giá trị của A khi $|x| - 1/2 = 0$
$|x| = 1/2 \Rightarrow x = 1/2$ hoặc $x = -1/2$.

Với $x = -1/2$: Loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ.
Với $x = 1/2$: Thỏa mãn ĐKXĐ.

$A = \frac{2}{2(1/2)+1} = \frac{2}{1+1} = 1$

4. Tìm x để A = 3
$\frac{2}{2x+1} = 3 \Rightarrow 3(2x+1) = 2 \Rightarrow 6x+3 = 2 \Rightarrow 6x = -1 \Rightarrow x = -1/6$ (Thỏa mãn ĐKXĐ).

5. Tìm x để A là số nguyên (Giả sử yêu cầu tìm x nguyên để A nguyên)
Để $A = \frac{2}{2x+1}$ là số nguyên thì $2x+1$ phải là ước của $2$.

$Ư(2) = \{1; -1; 2; -2\}$

$2x+1 = 1 \Rightarrow x = 0$ (Loại vì ĐKXĐ)
$2x+1 = -1 \Rightarrow x = -1$ (Loại vì ĐKXĐ)
$2x+1 = 2 \Rightarrow x = 1/2$ (Thỏa mãn)
$2x+1 = -2 \Rightarrow x = -3/2$ (Thỏa mãn)

6. Tìm x để A > 0
$\frac{2}{2x+1} > 0$. Vì tử số $2 > 0$ nên mẫu số phải dương:

$2x+1 > 0 \Rightarrow x > -1/2$.

Kết hợp ĐKXĐ: $x > -1/2$ và $x \neq 0, x \neq 1$.

7. Tìm x để A > 2
$\frac{2}{2x+1} > 2 \Rightarrow \frac{2}{2x+1} - 2 > 0 \Rightarrow \frac{2 - (4x+2)}{2x+1} > 0 \Rightarrow \frac{-4x}{2x+1} > 0$

Lập bảng xét dấu hoặc xét tích/thương trái dấu:

Trường hợp 1: $-4x > 0$ và $2x+1 > 0 \Rightarrow x < 0$ và $x > -1/2 \Rightarrow -1/2 < x < 0$.
Trường hợp 2: $-4x < 0$ và $2x+1 < 0 \Rightarrow x > 0$ và $x < -1/2$ (Vô lý).
Kết quả: $-1/2 < x < 0$.

Biểu thức ban đầu:

A=(x+2x2+2x+1−x−2x2−1):2x2+xx3+x2−x−1

1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ) và Rút gọn A
a) Tìm điều kiện xác định
Các mẫu thức phải khác 0:

x2+2x+1=(x+1)2≠0⇒x≠−1
x2−1=(x−1)(x+1)≠0⇒x≠1 và x≠−1
x3+x2−x−1=x2(x+1)−(x+1)=(x2−1)(x+1)=(x−1)(x+1)2≠0⇒x≠1,x≠−1
Phân thức chia phải khác 0 (tử thức 2x2+x≠0): x(2x+1)≠0⇒x≠0 và x≠−1/2
ĐKXĐ: x≠1;x≠−1;x≠0;x≠−1/2.

b) Rút gọn biểu thức A
Ta xử lý phần trong ngoặc trước:

x+2(x+1)2−x−2(x−1)(x+1)=(x+2)(x−1)−(x−2)(x+1)(x−1)(x+1)2

=(x2+x−2)−(x2−x−2)(x−1)(x+1)2=2x(x−1)(x+1)2

Bây giờ thực hiện phép chia (nhân nghịch đảo):

A=2x(x−1)(x+1)2⋅(x−1)(x+1)2x(2x+1)

Rút gọn các cụm giống nhau ở tử và mẫu, ta được:

A=22x+1

2. Tính giá trị của A tại x = -3
Thay x=−3 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào A:

A=22(−3)+1=2−5=−0,4

3. Tính giá trị của A khi |x|−1/2=0
|x|=1/2⇒x=1/2 hoặc x=−1/2.

Với x=−1/2: Loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ.
Với x=1/2: Thỏa mãn ĐKXĐ.

A=22(1/2)+1=21+1=1

4. Tìm x để A = 3
22x+1=3⇒3(2x+1)=2⇒6x+3=2⇒6x=−1⇒x=−1/6 (Thỏa mãn ĐKXĐ).

5. Tìm x để A là số nguyên (Giả sử yêu cầu tìm x nguyên để A nguyên)
Để A=22x+1 là số nguyên thì 2x+1 phải là ước của 2.

Ư(2)={1;−1;2;−2}

2x+1=1⇒x=0 (Loại vì ĐKXĐ)
2x+1=−1⇒x=−1 (Loại vì ĐKXĐ)
2x+1=2⇒x=1/2 (Thỏa mãn)
2x+1=−2⇒x=−3/2 (Thỏa mãn)

6. Tìm x để A > 0
22x+1>0. Vì tử số 2>0 nên mẫu số phải dương:

2x+1>0⇒x>−1/2.

Kết hợp ĐKXĐ: x>−1/2 và x≠0,x≠1.

7. Tìm x để A > 2
22x+1>2⇒22x+1−2>0⇒2−(4x+2)2x+1>0⇒−4x2x+1>0

Lập bảng xét dấu hoặc xét tích/thương trái dấu:

Trường hợp 1: −4x>0 và 2x+1>0⇒x<0 và x>−1/2⇒−1/2<x<0.
Trường hợp 2: −4x<0 và 2x+1<0⇒x>0 và x<−1/2 (Vô lý).
Kết quả: −1/2<x<0.