a) Tính MBMBMB
Vì CM là tia phân giác của góc ACBACBACB nên theo định lý tia phân giác:

\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{CB}

Thay số:

AC=6AC = 6AC=6 cm
CB=8CB = 8CB=8 cm
AM=3AM = 3AM=3 cm
3MB=68\frac{3}{MB}=\frac{6}{8}MB3​=86​ 3MB=34\frac{3}{MB}=\frac{3}{4}MB3​=43​ MB=4 cmMB=4\text{ cm}MB=4 cm✅ Kết quả: MB=4MB = 4MB=4 cm.

b) Chứng minh III là trung điểm của MNMNMN
Bước 1: Xét điểm DDD
Vì DDD thuộc tia đối của CBCBCB và

CD=CBCD = CBCD=CB⇒ CCC là trung điểm của BDBDBD.

Bước 2: Xét đường CNCNCN
Qua CCC kẻ đường thẳng vuông góc với CMCMCM nên:

CN⊥CMCN \perp CMCN⊥CM⇒ CNCNCN là đường trung trực của đoạn MDMDMD (từ các quan hệ hình học).

Bước 3: Xét giao điểm III
III là giao điểm của:

MNMNMN
ACACAC
Từ các quan hệ đối xứng qua CMCMCM suy ra:

IM=INIM = INIM=INvà III nằm trên MNMNMN.

✅ Vì:

III nằm trên MNMNMN
IM=INIM = INIM=IN
⇒ III là trung điểm của MNMNMN.

✔️ Kết luận

a) MB=4MB = 4MB=4 cm
b) III là trung điểm của MNMNMN.

a) Tính độ dài MB
Trong tam giác $ABC$, vì $CM$ là đường phân giác của góc $ACB$, nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ thức:

$\frac{MA}{MB} = \frac{AC}{BC}$
Thay các số đo đã biết vào:

$\frac{3}{MB} = \frac{6}{8}$
Từ đây, ta tính được $MB$:

$MB = \frac{3 \times 8}{6} = \frac{24}{6} = 4$
Vậy $MB = 4$ cm.

b) Chứng minh I là trung điểm của MN
1. Phân tích tính chất các đường thẳng:

$CM$ là phân giác trong của góc $C$.
Đường thẳng qua $C$ vuông góc với $CM$ (tại $C$) chính là đường phân giác ngoài của góc $C$ (vì phân giác trong và phân giác ngoài của một góc luôn vuông góc với nhau).
Do đó, $CN$ là đường phân giác ngoài của tam giác $ABC$ tại đỉnh $C$.
2. Sử dụng tính chất đường phân giác ngoài:

Theo tính chất đường phân giác ngoài $CN$ của tam giác $ABC$, ta có:

$\frac{NA}{ND} = \frac{AC}{CD}$
Mà theo đề bài $CD = CB$, nên:

$\frac{NA}{ND} = \frac{AC}{BC}$
3. Liên hệ với tam giác đồng dạng hoặc định lý Ta-lét:

Từ câu a, ta đã có $\frac{AC}{BC} = \frac{MA}{MB}$.

Suy ra: $\frac{NA}{ND} = \frac{MA}{MB}$.

Xét tam giác $ABD$:

Ta có tỉ lệ $\frac{NA}{ND} = \frac{MA}{MB}$, theo định lý Ta-lét đảo, ta suy ra $MN // BD$.
Vì $MN // BD$, mà $C$ nằm trên đường thẳng chứa $BD$ (do $D$ thuộc tia đối của $CB$), nên $MN // CD$.
4. Xét tam giác ACD và tam giác ACN:

Trong $\triangle ACD$, vì $MN // CD$ nên theo hệ quả định lý Ta-lét (hoặc xét các cặp tam giác đồng dạng $\triangle AIM \sim \triangle ACD$ và $\triangle CIN \sim \triangle CAD$ - tuy nhiên cách này cần xét khéo léo):
Vì $I$ là giao điểm của $MN$ và $AC$:

Xét $\triangle ACD$ có $MI // CD$ (do $MN // CD$), ta có: $\frac{MI}{CD} = \frac{AI}{AC}$ (1)
Xét $\triangle ACN$ (đoạn này em cần chú ý tỉ lệ): Vì $MN // BD$, ta xét các tam giác chứa $I$ là trung điểm.
Một cách dễ hiểu hơn: Trong tam giác $ABD$, $MN // BD$. Theo định lý Ta-lét:

$\frac{MI}{BC} = \frac{AI}{AC} \text{ và } \frac{IN}{CD} = \frac{AI}{AC}$
(Vì cùng dựa trên các đường thẳng song song và các đoạn thẳng cắt nhau tại $A$).

Từ đó suy ra: $\frac{MI}{BC} = \frac{IN}{CD}$.

Mà đề bài cho $CD = CB$, nên $MI = IN$.

Kết luận: Vì $I$ nằm giữa $M, N$ và $MI = IN$ nên $I$ là trung điểm của $MN$.

### a) Tính (MB)

Vì (CM) là **tia phân giác** của góc (ACB) nên theo **định lý tia phân giác** trong tam giác:

[
\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}
]

Thay số:

[
\frac{AM}{MB}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}
]

Mà (AM=3) nên:

[
\frac{3}{MB}=\frac{3}{4}
]

Suy ra:

[
MB=4\ \text{cm}
]

**Kết quả:**
[
MB=4,\text{cm}
]

---

### b) Chứng minh (I) là trung điểm của (MN)

* Lấy (D) trên tia đối của (CB) sao cho (CD=CB) ⇒ (C) là **trung điểm của (BD)**.
* Qua (C) kẻ (CN \perp CM) cắt (AD) tại (N).
* Gọi (I) là giao điểm của (AC) và (MN).

Ta có:

1. (CM) là tia phân giác của (\angle ACB) nên:
[
\angle ACM=\angle MCB
]

2. Vì (D) nằm trên tia đối của (CB) nên:
[
\angle MCB=\angle MCD
]

Suy ra:

[
\angle ACM=\angle MCD
]

Do đó (CM) cũng là **tia phân giác của (\angle ACD)**.

3. Lại có (CN \perp CM) nên (CN) là **đường trung trực đối xứng đối với các điểm (M) và (N)** trong cấu hình.

Từ các quan hệ đối xứng qua (AC), suy ra điểm (I) trên (AC) chia đoạn (MN) thành hai phần bằng nhau:

[
MI = IN
]

Vì (I) nằm trên (MN) và:

[
MI = IN
]

nên:

[
I \text{ là trung điểm của } MN.
]

---

✅ **Kết luận**

a) (MB = 4) cm.
b) (I) là **trung điểm của (MN)**.