a) Xét $△$HAD và $△$KBD có:

$\widehat{AHD} = \widehat{BKD} = 90°$

$\widehat{ADB}$ chung

Nên △HAD đồng dạng △KBD (g,g)

=> $\frac{AD}{BD} = \frac{DH}{DK}$ => AD.DK = BD.DH

b)

Có: $\frac{AD}{BD} = \frac{DH}{DK}$ => $\frac{BC}{BD} = \frac{DH}{DK}$

Xét $△$DKH và $△$BDC có:

$\frac{BC}{BD} = \frac{DH}{DK}$

$\widehat{KDH} = \widehat{DBC}$ (so le trong)

=> △DKH đồng dạng △BDC (c.g.c)

c)

Có $\frac{S_{△HAD}}{S_{△KBD}} = {\left(\frac{AH}{KB}\right)}^2 = {\left(\frac{1}{2}\right)}^2 = \frac{1}{4}$

Vẽ hình và Phân tích
Vẽ hình bình hành $ABCD$ sao cho đường chéo $BD$ dài hơn $AC$.
Từ $A$ hạ đường vuông góc xuống $BD$ tại $H$.
Từ $B$ hạ đường vuông góc xuống đường thẳng $AD$ tại $K$ (Lưu ý: Vì $BD > AC$ nên điểm $K$ thường nằm ngoài đoạn $AD$).

a) Chứng minh $\triangle HAD \sim \triangle KBD$ và $DK \cdot DA = DH \cdot DB$
Xét $\triangle HAD$ và $\triangle KBD$ có:

$\angle AHD = \angle BKD = 90^\circ$ (do $AH \perp BD$ và $BK \perp AD$).
$\angle HDA = \angle KDB$ (đây là góc chung).
$\Rightarrow \triangle HAD \sim \triangle KBD$ (trường hợp góc - góc).

Suy ra tỉ số đồng dạng:

$\frac{HA}{KB} = \frac{AD}{BD} = \frac{HD}{KD}$
Từ $\frac{AD}{BD} = \frac{HD}{KD}$, em thực hiện nhân chéo:

$\Rightarrow DK \cdot DA = DH \cdot DB$ (Điều phải chứng minh).

b) Chứng minh $\triangle DKH \sim \triangle DBC$
(Lưu ý: Trong đề bài em ghi $\triangle DKH = \triangle BDC$ có lẽ là nhầm lẫn nhỏ, vì hai tam giác này thường chỉ đồng dạng với nhau).

Xét $\triangle DKH$ và $\triangle DBC$:

Từ kết quả câu a, ta có: $\frac{HD}{KD} = \frac{AD}{BD}$.
Mà trong hình bình hành $ABCD$, ta có $AD = BC$ (các cạnh đối bằng nhau).
Thay $AD = BC$ vào tỉ số trên, ta được: $\frac{HD}{KD} = \frac{BC}{BD}$ hay $\frac{DH}{DB} = \frac{DK}{BC}$ (sai tỉ số này, ta dùng lại $\frac{HD}{AD} = \frac{KD}{BD}$).
Thực tế, xét $\triangle DKH$ và $\triangle DBC$:

Từ $DK \cdot DA = DH \cdot DB \Rightarrow \frac{DK}{DB} = \frac{DH}{DA}$.
Mà $DA = BC \Rightarrow \frac{DK}{DB} = \frac{DH}{BC}$.
Lại có $\angle KDH = \angle DBC$ (hai góc so le trong vì $AD // BC$).
$\Rightarrow \triangle DKH \sim \triangle DBC$ (cạnh - góc - cạnh).

c) Tính tỉ số diện tích $S_{HAD} / S_{KBD}$
Biết tỉ số đường cao $\frac{AH}{BK} = \frac{1}{2}$.

Từ kết quả đồng dạng ở câu a: $\triangle HAD \sim \triangle KBD$.

Ta có tỉ số đồng dạng $k$ chính là tỉ số của các cạnh tương ứng hoặc các đường cao tương ứng:

$k = \frac{AH}{BK} = \frac{1}{2}$
Theo tính chất của tam giác đồng dạng, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng:

$\frac{S_{HAD}}{S_{KBD}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$
Vậy tỉ số diện tích là $1/4$.