1. Phân tích đề bài
Lăng trụ đứng: Các cạnh bên $AA', BB', CC'$ vuông góc với đáy.
Đáy $ABC$: Vuông cân tại $A$, $AB = AC = 3$. Suy ra $BC = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$.
Chiều cao: $AA' = 3\sqrt{2}$.
Điểm M: Trung điểm $BC$.
Yêu cầu: Tính $d(AB', B'C)$. (Lưu ý: Bạn viết là $AB$ và $B'C$, mình sẽ tính khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ và $B'C$ nhé).

2. Phương pháp giải (Hình học thuần túy)
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $B'C$, ta tìm một mặt phẳng chứa đường này và song song với đường kia.

Bước 1: Chọn mặt phẳng song song

Ta có $AB \parallel A'B'$. Do đó, mặt phẳng $(A'B'C)$ chứa $B'C$ và song song với $AB$.

Khi đó: $d(AB, B'C) = d(AB, (A'B'C)) = d(A, (A'B'C))$.

Bước 2: Dựng khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(A'B'C)$

Vì lăng trụ đứng và $\triangle ABC$ vuông tại $A$ nên:

$A'A \perp (A'B'C')$
$A'B' \perp A'C'$ (do đáy là tam giác vuông cân tại $A'$)
Kẻ $AH \perp A'C$. Tuy nhiên, cách dễ nhất là sử dụng công thức tứ diện vuông.

Xét tứ diện $AA'B'C$ có ba cạnh $AA', AB', AC'$ đôi một vuông góc tại $A'$? Không phải, ở đây ta xét tứ diện $A.A'B'C$.

Ta có: $AB \perp AC$ và $AB \perp AA' \Rightarrow AB \perp (ACC'A')$.

Vì $A'B' \parallel AB$ nên $A'B' \perp (ACC'A')$.

$\Rightarrow A'B' \perp A'C$ và $A'B' \perp AA'$.

Bước 3: Tính toán

Xét tứ diện $A'ABC$ (hoặc hạ đường cao từ $A$ xuống mặt phẳng $(A'B'C)$).

Gọi $h$ là khoảng cách cần tìm. Sử dụng công thức nghịch đảo bình phương đường cao trong tứ diện có các cạnh đôi một vuông góc ($AA', AB', AC'$ không đôi một vuông góc, nên ta dùng thể tích hoặc hạ đường cao):

Diện tích $\triangle A'B'C$:

$A'B' = 3$
$A'C = \sqrt{AA'^2 + AC^2} = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + 3^2} = \sqrt{18 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.
Vì $A'B' \perp (ACC'A')$ nên $A'B' \perp A'C$.
$S_{\triangle A'B'C} = \frac{1}{2} \cdot A'B' \cdot A'C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp $C.AA'B'$:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle AA'B'} \cdot AC$ (vì $AC \perp (ABB'A')$)
$S_{\triangle AA'B'} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AA' = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3\sqrt{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$.
$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{2}}{2} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{2}}{2}$.
Khoảng cách $h$:

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A'B'C} \cdot h$
$\frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot h$
$h = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{6}$.

3. Kết quả
Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $B'C$ là:

$d = \sqrt{6}$
Lời giải tóm tắt:

Khoảng cách cần tính bằng khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(A'B'C)$.
Sử dụng công thức thể tích: $h = \frac{3V}{S_{đáy}}$.
Kết quả cuối cùng là $\sqrt{6}$.