Giải bài tập Hình học: Tam giác đồng dạng và Hệ thức lượng
Tóm tắt đề bài:

$\Delta ABC$ vuông tại $A$, $AB = 6$ cm, $AC = 8$ cm.
$AH \perp BC$ ($H \in BC$).
$HM \perp AB$ ($M \in AB$), $HN \perp AC$ ($N \in AC$).

a) Tính độ dài cạnh BC
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$BC^2 = AB^2 + AC^2$
$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$\Rightarrow BC = \sqrt{100} = 10 \text{ (cm)}$

b) Chứng minh $\Delta ABH \sim \Delta CAB$ và $AH \cdot BC = AB \cdot AC$
1. Chứng minh $\Delta ABH \sim \Delta CAB$:

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAB$ có:

$\widehat{AHB} = \widehat{BAC} = 90^\circ$
$\widehat{B}$ là góc chung

Vậy $\Delta ABH \sim \Delta CAB$ (g-g).
2. Chứng minh $AH \cdot BC = AB \cdot AC$:

Vì $\Delta ABH \sim \Delta CAB$, ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{AH}{AC} = \frac{AB}{CB}$
$\Rightarrow AH \cdot CB = AB \cdot AC \text{ (đpcm)}$
(Đây cũng chính là công thức tính diện tích tam giác $ABC$ theo hai cách khác nhau).

c) Chứng minh $\Delta AMN \sim \Delta ACB$
Bước 1: Chứng minh tứ giác $AMHN$ là hình chữ nhật

Xét tứ giác $AMHN$ có:

$\widehat{MAN} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)
$\widehat{AMH} = 90^\circ$ ($M$ là hình chiếu của $H$ trên $AB$)
$\widehat{ANH} = 90^\circ$ ($N$ là hình chiếu của $H$ trên $AC$)

$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow AH = MN$ và $\widehat{AMN} = \widehat{MHN}$ (tính chất hình chữ nhật).
Bước 2: Chứng minh $\Delta AMN \sim \Delta ACB$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$, đường cao $HM$, ta có hệ thức lượng:

$AH^2 = AM \cdot AB \Rightarrow AM = \frac{AH^2}{AB}$
Tương tự, xét $\Delta ACH$ vuông tại $H$, đường cao $HN$, ta có:

$AH^2 = AN \cdot AC \Rightarrow AN = \frac{AH^2}{AC}$
Từ hai điều trên, ta lập tỉ số:

$\frac{AM}{AN} = \frac{AH^2}{AB} \div \frac{AH^2}{AC} = \frac{AC}{AB}$
$\Rightarrow \frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$
Xét $\Delta AMN$ và $\Delta ACB$ có:

$\frac{AM}{AC} = \frac{AN}{AB}$ (chứng minh trên)
$\widehat{A}$ là góc chung

Vậy $\Delta AMN \sim \Delta ACB$ (c-g-c).

Kết quả:

a) $BC = 10$ cm.
b) Chứng minh xong qua trường hợp (g-g).
c) Chứng minh xong qua trường hợp (c-g-c).