Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Công thức tích phân từng phần: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

1. Tính tích phân $I$
Xét tích phân $I = \int_{0}^{1} (2x + 1) e^x \, dx$.

Đặt:

$u = 2x + 1 \Rightarrow du = 2 \, dx$
$dv = e^x \, dx \Rightarrow v = e^x$
Áp dụng công thức:

$I = \left. (2x + 1) e^x \right|_0^1 - \int_{0}^{1} 2 e^x \, dx$
Thay giới hạn vào số hạng đầu tiên:

Tại $x = 1$: $(2 \cdot 1 + 1) e^1 = 3e$
Tại $x = 0$: $(2 \cdot 0 + 1) e^0 = 1 \cdot 1 = 1$

$\Rightarrow \left. (2x + 1) e^x \right|_0^1 = 3e - 1$
Tính số hạng thứ hai:

$\int_{0}^{1} 2 e^x \, dx = \left. 2e^x \right|_0^1 = 2e^1 - 2e^0 = 2e - 2$
Kết hợp lại, ta có:

$I = (3e - 1) - (2e - 2)$
$I = 3e - 1 - 2e + 2$
$I = e + 1$
2. Xác định các hệ số $a, b$ và tính giá trị biểu thức
Theo đề bài: $I = ae + b$. Đối chiếu với kết quả $I = e + 1$, ta tìm được:

$a = 1$
$b = 1$
Cả $a$ và $b$ đều là số nguyên (thỏa mãn điều kiện đề bài).

Bây giờ, ta tính giá trị của biểu thức $3a + 2026b$:

$3 \cdot 1 + 2026 \cdot 1 = 3 + 2026 = 2029$
Kết quả cuối cùng:

$3a + 2026b = 2029$