Phân tích giả thiết:
$\triangle DEF$ vuông tại $D$, $DE = 9$ cm, $EF = 15$ cm.
Theo định lý Pythagoras, ta tính được $DF$:

$DF^2 = EF^2 - DE^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$
$\Rightarrow DF = 12$ cm.

a) Chứng minh $\triangle HED \sim \triangle DEF$
Xét $\triangle HED$ và $\triangle DEF$ có:

$\widehat{EHD} = \widehat{EDF} = 90^\circ$ (vì $DH$ là đường cao và tam giác $DEF$ vuông tại $D$).
$\widehat{E}$ là góc chung.
$\Rightarrow \triangle HED \sim \triangle DEF$ (theo trường hợp Góc - Góc).

b) Tính độ dài đoạn thẳng $DH$
Vì $\triangle HED \sim \triangle DEF$ (chứng minh ở câu a), ta có tỉ số đồng dạng:

$\frac{DH}{DF} = \frac{DE}{EF}$
Thay các giá trị đã biết vào:

$\frac{DH}{12} = \frac{9}{15}$
$\Rightarrow DH = \frac{12 \times 9}{15} = \frac{108}{15} = 7,2$ cm.

c) Tính tỉ số diện tích $\triangle DEK$ và $\triangle DKF$
Để tính tỉ số diện tích của hai tam giác có chung chiều cao, ta cần sử dụng tính chất đường phân giác.

Xét $\triangle DEK$ và $\triangle DKF$: Hai tam giác này có chung đường cao hạ từ đỉnh $D$ xuống cạnh $EF$.

Do đó, tỉ số diện tích của chúng bằng tỉ số của hai cạnh đáy tương ứng:

$\frac{S_{DEK}}{S_{DKF}} = \frac{EK}{KF}$
Sử dụng tính chất đường phân giác: Vì $DK$ là đường phân giác của $\widehat{D}$ trong $\triangle DEF$, theo tính chất đường phân giác, ta có:

$\frac{EK}{KF} = \frac{DE}{DF}$
Thay số vào:

$\frac{EK}{KF} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
Vậy, tỉ số diện tích của $\triangle DEK$ và $\triangle DKF$ là:

$\frac{S_{DEK}}{S_{DKF}} = \frac{3}{4}$

Cách trình bày tóm tắt vào vở:

Câu a: Chỉ ra $\widehat{H} = \widehat{D} = 90^\circ$ và góc $E$ chung.
Câu b: Áp dụng hệ thức lượng $DH \times EF = DE \times DF$ hoặc dùng tam giác đồng dạng.
Câu c: Khẳng định $\frac{S_{DEK}}{S_{DKF}} = \frac{EK}{KF}$ (chung đường cao) và thay bằng tỉ số $\frac{DE}{DF}$ theo tính chất phân giác.