Giải
- Giả sử mảnh đất hình thang vuông ABCD có các thông số như sau:
+ Đáy nhỏ: AB = x (x > 0).
+ Đáy lớn: CD = 2x.
+ Chiều cao (cũng là cạnh bên vuông góc): AD = h.
- Dựa vào công thức diện tích hình thang: $S=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\frac{(x+2x)\cdot h}{2}=\frac{3xh}{2}$
- Theo đề bài S = 24, ta có: $\frac{3xh}{2}=24\Rightarrow 3xh=48\Rightarrow h=\frac{16}{x}$
- Để tính chu vi, ta cần tìm độ dài cạnh bên còn lại BC.
- Kẻ đường cao BH từ B xuống CD, ta có CH = CD - AB = 2x - x = x.
- Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông BHC:
$BC=\sqrt{B{H}^2+C{H}^2}=\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{{\left(\frac{16}{x}\right)}^2+x^2}=\sqrt{\frac{256}{x^2}+x^2}$
- Vậy chu vi mảnh đất là:
$P\left(x\right)=AB+CD+AD+BC=x+2x+\frac{16}{x}+\sqrt{\frac{256}{x^2}+x^2}$
$P\left(x\right)=3x+\frac{16}{x}+\frac{\sqrt{256+x^4}}{x}$
- Tập xác định của hàm số chu vi là D = (0; $+\infty$).
- Tiệm cận đứng:
+ Ta xét giới hạn khi $x\to 0^{+}$: $\underset{x\to 0^{+}}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}(3x+\frac{16+\sqrt{256+x^4}}{x})$
+ Vì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}(16+\sqrt{256+x^4})=32$ và mẫu số tiến về 0, nên $\underset{x\to 0^{+}}{lim}P\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$.
=> Đường thẳng x = 0 là tiệm cận đứng.
- Tiệm cận ngang:
+ Xét giới hạn khi $x\to +\mathrm{\infty }$:
=> $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}P\left(x\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(3x+\frac{16}{x}+\frac{\sqrt{x^4(1+\frac{256}{x^4})}}{x})=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(3x+0+x)=+\mathrm{\infty }$
- Vì giới hạn là vô cùng nên hàm số không có tiệm cận ngang.
- Tiệm cận xiên:
+ Ta tìm hệ số a, b cho đường tiệm cận xiên y = ax + b:
=> $a=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{P\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(3+\frac{16}{x^2}+\frac{\sqrt{256+x^4}}{x^2})=3+0+1=4$
=> $b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}[P\left(x\right)-4x]=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(3x+\frac{16}{x}+\sqrt{\frac{256}{x^2}+x^2}-4x)$
=> $b=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\sqrt{\frac{256}{x^2}+x^2}-x+\frac{16}{x})$
- Sử dụng liên hợp hoặc xấp xỉ khi x rất lớn: $\sqrt{x^2+\frac{256}{x^2}}\approx x.$
- Do đó b = 0 => Đường thẳng y = 4x là tiệm cận xiên.
Vậy: 
- Hàm số P(x) có 2 đường tiệm cận:
+ Tiệm cận đứng: x = 0.
+ Tiệm cận xiên: y = 4x.