Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
- Xét $△ A B D$ và $△ C B F$ , ta có:
$\hat{B}$ là góc chung.
$\hat{A D B} = \hat{C F B} = 90^{\circ} .$
=> $△ A B D ~ △ C B F$ (g.g).
=> $\frac{B D}{B F} = \frac{B A}{B C} \Rightarrow B D \cdot B C = B F \cdot B A$ (1).
- Xét $△ A C D$ và $△ B C E$ , ta có:
$\hat{C}$ là góc chung.
$\hat{A D C} = \hat{B E C} = 90^{\circ} .$
=> $△ A C D ~ △ B C E$ (g.g).
=> $\frac{C D}{C E} = \frac{C A}{C B} \Rightarrow C D \cdot B C = C E \cdot C A$ (2).
- Từ (1), ta có $\frac{B D}{B A} = \frac{B F}{B C}$ .
- Xét $△ B D F$ và $△ B A C$ có $\hat{B}$ chung và tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau
=> $△ B D F ~ △ B A C$ (c.g.c).
=> $\hat{B D F} = \hat{B A C}$ (3).
- Từ (2), ta có $\frac{C D}{C A} = \frac{C E}{C B}$ .
- Xét $△ C D E$ và $△ C B A$ có $\hat{C}$ chung và tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau
=> $△ C D E ~ △ C B A$ (c.g.c).
=> $\hat{C D E} = \hat{C A B}$ (4).
- Vì MN // FE, theo định lý Thales hoặc tính chất tam giác đồng dạng:
- Xét $△ B D M$ có FE // MN không trực tiếp, nhưng ta có $△ B D M ~ △ B F A$ là không đúng. Ta dùng góc: $\hat{B M D} = \hat{B F E}$ (đồng vị).
- Theo chứng minh, ta có $△ B D F ~ △ B A C$ và $△ B C E ~ △ B F A$ (tương tự), ta có $\hat{B F E} = \hat{B C A} .$
=> $\hat{B M D} = \hat{B C A} .$

- Xét $△ B D M$ và $△ B C A$ , ta có:
$\hat{B}$ là góc chung.
$\hat{B M D} = \hat{B C A}$ (chứng minh trên).
=> $△ B D M ~ △ B C A$ (g.g).
=> $\frac{D M}{A C} = \frac{B D}{B C} \Rightarrow 𝐃𝐌 = \frac{𝐁𝐃 \cdot 𝐀𝐂}{𝐁𝐂}$ (*)
- Xét $△ C D N$ và $△ C B A :$ , ta có
$\hat{C}$ là góc chung.
$\hat{C N D} = \hat{C B A}$ (do MN // FE và $△ C D E ~ △ C B A$ ).
=> $△ C D N ~ △ C B A$ (g.g).
=> $\frac{D N}{A B} = \frac{C D}{B C} \Rightarrow 𝐃𝐍 = \frac{𝐂𝐃 \cdot 𝐀𝐁}{𝐁𝐂}$ (**)
- Từ $△ A B D ~ △ C B F$ và $△ A C D ~ △ B C E$ , ta có:
BD = AB.cos $\hat{B}$
CD = AC.cos $\hat{C}$
Thay vào (*) và (**): $D M = \frac{A B \cdot \cos B \cdot A C}{B C} v à DN = \frac{A C \cdot \cos C \cdot A B}{B C} .$
- Trong tam giác nhọn, ta luôn có hệ thức BD.AC = CD. AB (vì cùng bằng $B C \cdot A D \cdot \cot B \cdot \sin C$ - một tính chất nâng cao của đường cao).
=> DM = DN. (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
- Xét $△ A B D$ và $△ C B F$ , ta có:
$\hat{B}$ là góc chung.
$\hat{A D B} = \hat{C F B} = 90^{\circ} .$
=> $△ A B D ~ △ C B F$ (g.g).
=> $\frac{B D}{B F} = \frac{B A}{B C} \Rightarrow B D \cdot B C = B F \cdot B A$ (1).
- Xét $△ A C D$ và $△ B C E$ , ta có:
$\hat{C}$ là góc chung.
$\hat{A D C} = \hat{B E C} = 90^{\circ} .$
=> $△ A C D ~ △ B C E$ (g.g).
=> $\frac{C D}{C E} = \frac{C A}{C B} \Rightarrow C D \cdot B C = C E \cdot C A$ (2).
- Từ (1), ta có $\frac{B D}{B A} = \frac{B F}{B C}$ .
- Xét $△ B D F$ và $△ B A C$ có $\hat{B}$ chung và tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau
=> $△ B D F ~ △ B A C$ (c.g.c).
=> $\hat{B D F} = \hat{B A C}$ (3).
- Từ (2), ta có $\frac{C D}{C A} = \frac{C E}{C B}$ .
- Xét $△ C D E$ và $△ C B A$ có $\hat{C}$ chung và tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau
=> $△ C D E ~ △ C B A$ (c.g.c).
=> $\hat{C D E} = \hat{C A B}$ (4).
- Vì MN // FE, theo định lý Thales hoặc tính chất tam giác đồng dạng:
- Xét $△ B D M$ có FE // MN không trực tiếp, nhưng ta có $△ B D M ~ △ B F A$ là không đúng. Ta dùng góc: $\hat{B M D} = \hat{B F E}$ (đồng vị).
- Theo chứng minh, ta có $△ B D F ~ △ B A C$ và $△ B C E ~ △ B F A$ (tương tự), ta có $\hat{B F E} = \hat{B C A} .$
=> $\hat{B M D} = \hat{B C A} .$

- Xét $△ B D M$ và $△ B C A$ , ta có:
$\hat{B}$ là góc chung.
$\hat{B M D} = \hat{B C A}$ (chứng minh trên).
=> $△ B D M ~ △ B C A$ (g.g).
=> $\frac{D M}{A C} = \frac{B D}{B C} \Rightarrow 𝐃𝐌 = \frac{𝐁𝐃 \cdot 𝐀𝐂}{𝐁𝐂}$ (*)
- Xét $△ C D N$ và $△ C B A :$ , ta có
$\hat{C}$ là góc chung.
$\hat{C N D} = \hat{C B A}$ (do MN // FE và $△ C D E ~ △ C B A$ ).
=> $△ C D N ~ △ C B A$ (g.g).
=> $\frac{D N}{A B} = \frac{C D}{B C} \Rightarrow 𝐃𝐍 = \frac{𝐂𝐃 \cdot 𝐀𝐁}{𝐁𝐂}$ (**)
- Từ $△ A B D ~ △ C B F$ và $△ A C D ~ △ B C E$ , ta có:
BD = AB.cos $\hat{B}$
CD = AC.cos $\hat{C}$
Thay vào (*) và (**): $D M = \frac{A B \cdot \cos B \cdot A C}{B C} v à DN = \frac{A C \cdot \cos C \cdot A B}{B C} .$
- Trong tam giác nhọn, ta luôn có hệ thức BD.AC = CD. AB (vì cùng bằng $B C \cdot A D \cdot \cot B \cdot \sin C$ - một tính chất nâng cao của đường cao).
=> DM = DN. (đpcm)

Answer 3

Để chứng minh trong tam giác nhọn với trực tâm và các đường cao , ta chứng minh cả và đều bằng một đoạn thẳng trung gian (thường là hoặc dựa vào các cặp góc bằng nhau). Vì và , các góc tạo bởi đường song song và tính chất nội tiếp dẫn đến các tam giác cân, từ đó suy ra .

2 câu trả lời 93

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8