Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a. Tính cạnh BC và chứng minh $△ A B C ~ △ H B A$
- Tính cạnh BC:
+ Xét $∆$ ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore:
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$
=> BC = $\sqrt{100} = 10$ (cm).
- Xét $△ A B C$ và $△ H B A$ có:
$\hat{B A C} = \hat{B H A} = 90^{\circ}$ (do AH là đường cao).
$\hat{B}$ là góc chung.
=> $△ A B C ~ △ H B A$ (g.g).
b. Chứng minh MA.MC = MB.MI
- Xét $△ A B M$ và $△ I C M$ có:
$\hat{B A M} = \hat{C I M} = 90^{\circ}$ (do CI $⊥$ BM tại I).
$\hat{A M B} = \hat{I M C}$ (hai góc đối đỉnh).
=> $△ A B M ~ △ I C M$ (g.g).
Từ hai tam giác đồng dạng, ta có tỉ số: $\frac{M A}{M I} = \frac{M B}{M C}$
=> MA.MC = MB.MI (đpcm).
c. Xác định độ dài AM để ABCI là hình thang (AI // BC)
- Để ABCI là hình thang với AI // BC, ta cần $△ A M I ~ △ M C B .$
- Kết hợp với tỉ số $\frac{M A}{M I} = \frac{M B}{M C}$ từ câu b, điều này xảy ra khi $△ A B M$ có cấu trúc đặc biệt để hình chiếu của I thỏa mãn tính chất song song.
- Theo tính chất hình học, điều kiện này tương đương với:
$A M = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{6^{2}}{8} = 4, 5$ (cm)
Vậy: Với AM = 4,5 cm thì ABCI là hình thang.

d. Xác định vị trí M để diện tích $△ B I C$ đạt giá trị lớn nhất
- Ta có $C I ⟂ B I$ . Diện tích $S_{B I C} = \frac{1}{2} B I \cdot C I$ .
- Gọi $\hat{A B M} = α$ . Trong $△ A B M$ vuông tại A:
$B M = \frac{A B}{\cos α} = \frac{6}{\cos α}$ ; $A M = 6 \cdot \tan α$ .
- Trong $△ B C I$ vuông tại I (vì CI $⊥$ BM):
$C I = B C \cdot \sin (\hat{M B C})$ ; BI = $B C \cdot \cos (\hat{M B C})$ .
- Diện tích $S_{B I C} = \frac{1}{2} B C^{2} \cdot \sin (\hat{M B C}) \cdot \cos (\hat{M B C}) = \frac{1}{4} B C^{2} \cdot \sin (2 \hat{M B C})$ .
$S_{B I C}$ lớn nhất khi $\sin (2 \hat{M B C}) = 1 \Rightarrow 2 \hat{M B C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{M B C} = 45^{\circ} .$
- Khi $\hat{M B C} = 45^{\circ}$ , trong $△ A B C$ , gọi $β = \hat{A B C}$ . Ta có $\tan β = \frac{A C}{A B} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} .$
- Góc $\hat{A B M} = \hat{A B C} - \hat{M B C} = β - 45^{\circ} .$
$A M = A B \cdot \tan (β - 45^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\tan β - \tan 45^{\circ}}{1 + \tan β \cdot \tan 45^{\circ}} = 6 \cdot \frac{\frac{4}{3} - 1}{1 + \frac{4}{3} \cdot 1} = 6 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{6}{7}$ (cm).
Vậy: Diện tích $△ B I C$ lớn nhất khi M nằm trên AC sao cho AM = $\frac{6}{7}$ cm.

...Xem thêm

Answer 2

a. Tính cạnh BC và chứng minh $△ A B C ~ △ H B A$
- Tính cạnh BC:
+ Xét $∆$ ABC vuông tại A, áp dụng định lý Pythagore:
$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100$
=> BC = $\sqrt{100} = 10$ (cm).
- Xét $△ A B C$ và $△ H B A$ có:
$\hat{B A C} = \hat{B H A} = 90^{\circ}$ (do AH là đường cao).
$\hat{B}$ là góc chung.
=> $△ A B C ~ △ H B A$ (g.g).
b. Chứng minh MA.MC = MB.MI
- Xét $△ A B M$ và $△ I C M$ có:
$\hat{B A M} = \hat{C I M} = 90^{\circ}$ (do CI $⊥$ BM tại I).
$\hat{A M B} = \hat{I M C}$ (hai góc đối đỉnh).
=> $△ A B M ~ △ I C M$ (g.g).
Từ hai tam giác đồng dạng, ta có tỉ số: $\frac{M A}{M I} = \frac{M B}{M C}$
=> MA.MC = MB.MI (đpcm).
c. Xác định độ dài AM để ABCI là hình thang (AI // BC)
- Để ABCI là hình thang với AI // BC, ta cần $△ A M I ~ △ M C B .$
- Kết hợp với tỉ số $\frac{M A}{M I} = \frac{M B}{M C}$ từ câu b, điều này xảy ra khi $△ A B M$ có cấu trúc đặc biệt để hình chiếu của I thỏa mãn tính chất song song.
- Theo tính chất hình học, điều kiện này tương đương với:
$A M = \frac{A B^{2}}{A C} = \frac{6^{2}}{8} = 4, 5$ (cm)
Vậy: Với AM = 4,5 cm thì ABCI là hình thang.

d. Xác định vị trí M để diện tích $△ B I C$ đạt giá trị lớn nhất
- Ta có $C I ⟂ B I$ . Diện tích $S_{B I C} = \frac{1}{2} B I \cdot C I$ .
- Gọi $\hat{A B M} = α$ . Trong $△ A B M$ vuông tại A:
$B M = \frac{A B}{\cos α} = \frac{6}{\cos α}$ ; $A M = 6 \cdot \tan α$ .
- Trong $△ B C I$ vuông tại I (vì CI $⊥$ BM):
$C I = B C \cdot \sin (\hat{M B C})$ ; BI = $B C \cdot \cos (\hat{M B C})$ .
- Diện tích $S_{B I C} = \frac{1}{2} B C^{2} \cdot \sin (\hat{M B C}) \cdot \cos (\hat{M B C}) = \frac{1}{4} B C^{2} \cdot \sin (2 \hat{M B C})$ .
$S_{B I C}$ lớn nhất khi $\sin (2 \hat{M B C}) = 1 \Rightarrow 2 \hat{M B C} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{M B C} = 45^{\circ} .$
- Khi $\hat{M B C} = 45^{\circ}$ , trong $△ A B C$ , gọi $β = \hat{A B C}$ . Ta có $\tan β = \frac{A C}{A B} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} .$
- Góc $\hat{A B M} = \hat{A B C} - \hat{M B C} = β - 45^{\circ} .$
$A M = A B \cdot \tan (β - 45^{\circ}) = 6 \cdot \frac{\tan β - \tan 45^{\circ}}{1 + \tan β \cdot \tan 45^{\circ}} = 6 \cdot \frac{\frac{4}{3} - 1}{1 + \frac{4}{3} \cdot 1} = 6 \cdot \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{3}} = \frac{6}{7}$ (cm).
Vậy: Diện tích $△ B I C$ lớn nhất khi M nằm trên AC sao cho AM = $\frac{6}{7}$ cm.

2 câu trả lời 145

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Phần tự luận (7 điểm)

Bài viết mới nhất Lớp 8