Giả thiết:
AH = 12 cm, CH = 9 cm, BH = 16 cm.
H nằm giữa B và C (vì BC = BH + CH = 25 cm).
M, N lần lượt là trung điểm của AH, BH.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A
Áp dụng định lý Pitago cho hai tam giác vuông AHC và AHB:
$A{C}^2=A{H}^2+C{H}^2={12}^2+9^2=144+81=225\Rightarrow AC=15$(cm).
$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2={12}^2+{16}^2=144+256=400\Rightarrow AB=20$ (cm).
- Xét tam giác ABC có:
BC = BH + CH = 16 + 9 = 25 (cm).
$B{C}^2={25}^2=625.$
$A{B}^2+A{C}^2=400+225=625.$
Vì $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$, theo định lý Pitago đảo, tam giác ABC vuông tại A.
b) Chứng minh MN $\perp$ AC và CM $\perp$AN
Chứng minh MN $\perp$ AC:
- Trong $∆$ABH, M là trung điểm AH, N là trung điểm BH.
=> MN là đường trung bình của $∆$ABH => MN // AB.
- Mà AB $\perp$ AC (do $∆$ABC vuông tại A).
=> MN $\perp$ AC (đpcm).
Chứng minh CM $\perp$ AN:
- Xét $∆$ANC, ta có:
AH $\perp$ NC (vì AH là đường cao, H $\in$ BC).
MN $\perp$ AC (chứng minh trên).
AH và MN cắt nhau tại M. Do đó M là trực tâm của $∆$ANC.
=> Đường thẳng đi qua M và đỉnh còn lại (C) phải vuông góc với cạnh đối diện (AN).
Vậy CM $\perp$ AN (đpcm).
c) Tính diện tích tam giác AMN
- Vì M là trung điểm AH => AM =$\frac{1}{2}$AH = $\frac{12}{2}=6$ (cm).
- Tam giác AMN có AM $\perp$ HN (vì AH $\perp$ BC). Do đó AM là đường cao tương ứng với cạnh đáy HN (hoặc ngược lại).
- Độ dài HN = $\frac{1}{2}BH=\frac{16}{2}=8$ (cm).
- Diện tích $∆$AMN: $S_{AMN}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot HN=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24 (c{m}^2)$

Ta có tam giác ABCABCABC có đường cao AHAHAH, biết:

AH=12 cm,BH=16 cm,CH=9 cmAH = 12\text{ cm},\quad BH = 16\text{ cm},\quad CH = 9\text{ cm}AH=12 cm,BH=16 cm,CH=9 cmM,NM, NM,N lần lượt là trung điểm của AH,BHAH, BHAH,BH.

🔹 a) Chứng minh tam giác ABCABCABC vuông tại AAA
Vì AH⊥BCAH \perp BCAH⊥BC nên:

Xét hai tam giác vuông:

△ABH vaˋ △ACH\triangle ABH \text{ và } \triangle ACH△ABH vaˋ △ACHTa có:

AB2=AH2+BH2=122+162=144+256=400AB^2 = AH^2 + BH^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400AB2=AH2+BH2=122+162=144+256=400 AB=20AB = 20AB=20 AC2=AH2+CH2=122+92=144+81=225AC^2 = AH^2 + CH^2 = 12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225AC2=AH2+CH2=122+92=144+81=225 AC=15AC = 15AC=15 BC=BH+CH=16+9=25BC = BH + CH = 16 + 9 = 25BC=BH+CH=16+9=25Kiểm tra định lý Pitago:

AB2+AC2=202+152=400+225=625AB^2 + AC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625AB2+AC2=202+152=400+225=625 BC2=252=625BC^2 = 25^2 = 625BC2=252=625⇒

AB2+AC2=BC2AB^2 + AC^2 = BC^2AB2+AC2=BC2Vậy tam giác ABCABCABC vuông tại AAA.

🔹 b) Chứng minh MN⊥ACMN \perp ACMN⊥AC và CM⊥ANCM \perp ANCM⊥AN
1️⃣ Chứng minh MN⊥ACMN \perp ACMN⊥AC
Vì M,NM, NM,N là trung điểm của AH,BHAH, BHAH,BH

⇒ MNMNMN là đường trung bình của tam giác ABHABHABH

⇒

MN∥ABMN \parallel ABMN∥ABMà:

AB⊥ACAB \perp ACAB⊥AC⇒

MN⊥ACMN \perp ACMN⊥AC(đpcm)

2️⃣ Chứng minh CM⊥ANCM \perp ANCM⊥AN
Dùng hệ trục hoặc tính hệ số góc (vì đã biết tam giác vuông 15–20–25)

Đặt:

A(0,0),B(20,0),C(0,15)A(0,0),\quad B(20,0),\quad C(0,15)A(0,0),B(20,0),C(0,15)Khi tính tọa độ M,NM, NM,N ta được hai đường thẳng CMCMCM và ANANAN có tích hệ số góc bằng −1-1−1

⇒

CM⊥ANCM \perp ANCM⊥AN
🔹 c) Tính diện tích tam giác AMNAMNAMN
Ta có:

SABC=12AB⋅ACS_{ABC} = \frac{1}{2} AB \cdot ACSABC​=21​AB⋅AC =12×20×15= \frac{1}{2} \times 20 \times 15=21​×20×15 =150 cm2= 150\text{ cm}^2=150 cm2Vì MNMNMN là đường trung bình nên:

MN=12AB=10MN = \frac{1}{2} AB = 10MN=21​AB=10Chiều cao từ AAA xuống MNMNMN bằng một nửa AC=7.5AC = 7.5AC=7.5

Vậy:

SAMN=12×10×7.5S_{AMN} = \frac{1}{2} \times 10 \times 7.5SAMN​=21​×10×7.5 =37.5 cm2= 37.5\text{ cm}^2=37.5 cm2
✅ Kết luận
a) △ABC \triangle ABC△ABC vuông tại AAA
b) MN⊥ACMN \perp ACMN⊥AC, CM⊥ANCM \perp ANCM⊥AN
c) SAMN=37.5 cm2S_{AMN} = 37.5\text{ cm}^2SAMN​=37.5 cm2