a) Chứng minh ΔAEI∼ΔCDI

Xét ΔAEI và ΔCDI, ta có:

• AEI=CDI=90∘ (do AD⊥BC và CE⊥AB).

• AIE=CID (hai góc đối đỉnh).

⇒ΔAEI∼ΔCDI (trường hợp góc - góc).

b) Chứng minh ΔEDI∼ΔACI và DEI=CAI

Từ kết quả đồng dạng ở câu (a), ta có tỉ số đồng dạng:

Xét ΔEDI và ΔACI, ta có:

• AIEI​=CIDI​ (chứng minh trên).

• EID=AIC (hai góc đối đỉnh).

⇒ΔEDI∼ΔACI (trường hợp cạnh - góc - cạnh).

Hệ quả: Vì hai tam giác này đồng dạng nên các góc tương ứng bằng nhau:

c) Chứng minh AE⋅AB+CD⋅CB=AC2

Đây là phần thú vị nhất, chúng ta sẽ sử dụng thêm các cặp tam giác đồng dạng khác có chung cạnh huyền AC:

1. Xét ΔAEC và ΔADB: Không trực tiếp lắm, hãy thử xét các tam giác vuông có chung góc nhọn ở đỉnh.

2. Xét ΔBEA∼ΔBDA: Không hẳn. Ta nên xét:

   • ΔAEC∼ΔABB′ (với B′ là hình chiếu)? Không cần phức tạp thế.

Cách làm chuẩn:

• Bước 1: Xét ΔAEC và ΔADB có A chung và hai góc vuông. Tuy nhiên, để xuất hiện AE⋅AB, ta xét ΔAEB không vuông. Thay vào đó, ta hạ thêm đường cao thứ ba hoặc sử dụng tính chất:

  • ΔAEC∼ΔAFB (nếu có thêm đường cao từ B).

  • Thực tế, ta có thể chứng minh thông qua hình chiếu:

    • AE⋅AB=AF⋅AC (với F là hình chiếu của E lên AC, nhưng cách này dài).

Cách tối ưu nhất: Sử dụng tam giác đồng dạng có cạnh chung.

• Xét ΔADC∼ΔBEC không đúng. Ta xét:

  • ΔAEC∼ΔADC? Không.

  • Hãy nhìn vào biểu thức: AE⋅AB và CD⋅CB.

  • ΔADC vuông tại D, ΔAEC vuông tại E.

Sử dụng tính chất hình chiếu: Kẻ BK⊥AC tại K.

• ΔAEC∼ΔAKB (vì có A chung và E=K=90∘).

  ⇒AKAE​=ABAC​⇒AE⋅AB=AK⋅AC

• ΔCDC (đúng ra là ΔBDC) ∼ΔBKC (vì có C chung và D=K=90∘).

  ⇒CKCD​=ACCB​⇒CD⋅CB=CK⋅AC

Cộng hai vế lại:

Vì K nằm giữa A và C nên AK+CK=AC.

(Đpcm)