Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a. Chứng minh x là số chính phương
Cho x, y $\in$ Z⁺ sao cho $(x^{2} + y^{2} - x) ⋮ x y$ .
- Từ giả thiết, ta có: $x^{2} + y^{2} - x = k x y (k \in Z)$
=> $y^{2} - x = k x y - x^{2} = x (k y - x)$
- Điều này có nghĩa là y² - x phải chia hết cho x.
=> $y^{2} ⋮ x$
- Gọi d = gcd(x, y). Khi đó x = da và y = db với gcd(a, b) = 1.
=> Thay vào biểu thức ban đầu: ${(d a)}^{2} + {(d b)}^{2} - d a ⋮ (d a) (d b)$
=> $d^{2} a^{2} + d^{2} b^{2} - d a ⋮ d^{2} a b$
- Vì vế phải chia hết cho d², nên vế trái cũng phải chia hết cho d²:
$(d^{2} a^{2} + d^{2} b^{2} - d a) ⋮ d^{2} \Rightarrow d a ⋮ d^{2} \Rightarrow a ⋮ d$
- Mặt khác, từ $y^{2} ⋮ x \Rightarrow {(d b)}^{2} ⋮ d a \Rightarrow d^{2} b^{2} ⋮ d a \Rightarrow d b^{2} ⋮ a$ .
- Vì gcd(a, b) = 1 nên gcd(a, b²) = 1. Do đó $d ⋮ a$ .
- Từ $a ⋮ d$ và $d ⋮ a$ (với a, d > 0), ta suy ra a = d.
Khi đó: x = da = d.d = d².
- Vì d là số nguyên nên x là một số chính phương (đpcm).
b. Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn $x^{2} + x y + 3 x + 2 y = 1$
- Với dạng phương trình có bậc nhất đối với một ẩn (ở đây là y), phương pháp tốt nhất là cô lập biến đó.
- Ta có: $x^{2} + 3 x - 1 = - y (x + 2)$
=> $y = \frac{- x^{2} - 3 x + 1}{x + 2}$
- Thực hiện phép chia đa thức: $y = \frac{- (x^{2} + 2 x) - (x + 2) + 3}{x + 2}$
=> $y = - x - 1 + \frac{3}{x + 2}$
- Để y là số nguyên thì x + 2 phải là ước của 3. Các ước của 3 bao gồm: {-3; -1; 1; 3}.
=> Ta lập bảng giá trị:

x+2	x	$y = - x - 1 + \frac{3}{x + 2}$	Cặp (x, y)
-3	-5	y = 5 - 1 - 1 = 3	(-5, 3)
-1	-3	y = 3 - 1 - 3 = -1	(-3, -1)
1	-1	y = 1 - 1 + 3 = 3	(-1, 3)
3	1	y = -1 - 1 + 1 = -1	(1, -1)

Vậy các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn là: (x, y) $\in$ {(-5, 3); (-3, -1); (-1, 3); (1, -1)}

...Xem thêm

Answer 2

a. Chứng minh x là số chính phương
Cho x, y $\in$ Z⁺ sao cho $(x^{2} + y^{2} - x) ⋮ x y$ .
- Từ giả thiết, ta có: $x^{2} + y^{2} - x = k x y (k \in Z)$
=> $y^{2} - x = k x y - x^{2} = x (k y - x)$
- Điều này có nghĩa là y² - x phải chia hết cho x.
=> $y^{2} ⋮ x$
- Gọi d = gcd(x, y). Khi đó x = da và y = db với gcd(a, b) = 1.
=> Thay vào biểu thức ban đầu: ${(d a)}^{2} + {(d b)}^{2} - d a ⋮ (d a) (d b)$
=> $d^{2} a^{2} + d^{2} b^{2} - d a ⋮ d^{2} a b$
- Vì vế phải chia hết cho d², nên vế trái cũng phải chia hết cho d²:
$(d^{2} a^{2} + d^{2} b^{2} - d a) ⋮ d^{2} \Rightarrow d a ⋮ d^{2} \Rightarrow a ⋮ d$
- Mặt khác, từ $y^{2} ⋮ x \Rightarrow {(d b)}^{2} ⋮ d a \Rightarrow d^{2} b^{2} ⋮ d a \Rightarrow d b^{2} ⋮ a$ .
- Vì gcd(a, b) = 1 nên gcd(a, b²) = 1. Do đó $d ⋮ a$ .
- Từ $a ⋮ d$ và $d ⋮ a$ (với a, d > 0), ta suy ra a = d.
Khi đó: x = da = d.d = d².
- Vì d là số nguyên nên x là một số chính phương (đpcm).
b. Tìm cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn $x^{2} + x y + 3 x + 2 y = 1$
- Với dạng phương trình có bậc nhất đối với một ẩn (ở đây là y), phương pháp tốt nhất là cô lập biến đó.
- Ta có: $x^{2} + 3 x - 1 = - y (x + 2)$
=> $y = \frac{- x^{2} - 3 x + 1}{x + 2}$
- Thực hiện phép chia đa thức: $y = \frac{- (x^{2} + 2 x) - (x + 2) + 3}{x + 2}$
=> $y = - x - 1 + \frac{3}{x + 2}$
- Để y là số nguyên thì x + 2 phải là ước của 3. Các ước của 3 bao gồm: {-3; -1; 1; 3}.
=> Ta lập bảng giá trị:

x+2	x	$y = - x - 1 + \frac{3}{x + 2}$	Cặp (x, y)
-3	-5	y = 5 - 1 - 1 = 3	(-5, 3)
-1	-3	y = 3 - 1 - 3 = -1	(-3, -1)
1	-1	y = 1 - 1 + 3 = 3	(-1, 3)
3	1	y = -1 - 1 + 1 = -1	(1, -1)

Vậy các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn là: (x, y) $\in$ {(-5, 3); (-3, -1); (-1, 3); (1, -1)}

Answer 3

https://vi.wikipedia.org/wiki/T%E1%BA%ADp_tin:Inscribed_square.svg

Answer 4

`a,`

Vì `x^2+y^2-x\vdotsxy` nên `x^2+y^2-x` cũng chia hết cho `x`

`->x(x-1)+y^2\vdots x`

Mà `x(x-1)\vdotsx` nên `y^2\vdotsx`

Đặt `y^2=xk(k in NN^**)`

Khi đó:`x^2+xk-x\vdotsxy`

`->x+k-1\vdotsy`

Đặt ` Ư CLN(x,k)=d(d in NN^**)`

`->{(x\vdotsd),(k\vdotsd):}`

`->xk\vdotsd^2`

`->y^2\vdotsd^2`

`->y\vdotsd`

Ta có:`x+k-1\vdotsy`

Mà `y\vdots d ` nên `x+k-1\vdots d`

Mà `{(x\vdots d),(k \vdots d):}` nên `1\vdotsd`

`->d=1`

`->Ư CLN(x,k)=1`

Kết hợp với `y^2=xk` suy ra `x` phải là số chính phương (đpcm)

`b,`
Ta có:`x^2+xy+3x+2y=1`

`x(x+y)+2x+2y+x=1`

`x(x+y)+2(x+y)+x=1`

`(x+y)(x+2)+x+2=3`

`(x+2)(x+y+1)=3`

Vì `x,y in ZZ` nên `x+2;x+y+1 in Ư(3)={+-1;+-3}`

Ta có bảng sau:

`x+2`	`1`	`-1`	`3`	`-3`
`x+y+1`	`3`	`-3`	`1`	`-1`
`x`	`-1`	`-3`	`1`	`-5`
`y`	`3`	`-1`	`-1`	`3`
KL	TM	TM	TM	TM

Vậy `(x,y) in {(-1;3);(-3;-1);(1;-1);(-5;3)}`