Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Đáp án:

a, Vì tam giác ABC đều (gt) nên AB=AC=BC

Ta lại có: AM=BN=CP (gt)

Suy ra BM=CN=AP

Ta sẽ chứng minh được tam giác AMP=tam giác BNM; tam giác AMP= tam giác CPN(c.g.c)

=> MP=MN ; MP=PN(cặp cạnh tương ứng)

=> MN=NP=PM

=> tam giác MNP là tam giác đều(đpcm)

b, Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA=OB=OC(Vì giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác ABC cách đều 3 đỉnh của tam giác đó) và các tia AO,BO,CO, lần lượt là các tia phân giác của các góc A, B,C. Ta sẽ chứng minh được tam giác MAO= tam giác NPO; tam giác MAO=tam giác PCO(c.g.c)

=> OM=ON; OM=OP (cặp cạnh tương ứng)

=> OM=ON=OP

=> O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP

Answer 2

a) Vì ΔABC đều nên AB=BC=AC; $∠$ ABC= $∠$ CAB= $∠$ ACB (tính chất tam giác đều).

Mà AM = BN = CP nên suy ra BM = CN = AP.

Xét ΔAMP và ΔBNM có:

AM=BN(cmt)

$∠$ MAP= $∠$ MBN(gt)

AP=BM(cmt)

⇒ΔAMP=ΔBNM (c.g.c)

⇒MP=MN (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔBNM và ΔCPN có:

CP=BN(cmt)

$∠$ MBN= $∠$ NCP(gt)

NC=BM(cmt)

⇒ΔCPN=ΔBNM(c.g.c)

⇒PN=MN (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra MN = MP = PN. Vậy ΔMNP là tam giác đều.

b) Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

$\Rightarrow$ Các tia AO, BO, CO lần lượt là đường phân giác của 3 góc bằng nhau $∠ B A C; ∠ A B C; ∠ A C B$

$\Rightarrow ∠ M A O = ∠ P A O = ∠ P C O = ∠ N C O = ∠ N B O = ∠ M B O$

Xét ΔAOM và ΔBON có:

AO=BO(cmt)

$∠$ 0(cmt)

AM=BN(cmt)

⇒ ΔAOM=ΔBON(c.g.c)

⇒ OM=ON (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAOM và ΔCOP có:

AO=CO(cmt)

$∠$ 1(cmt)

AM=CP(cmt)

⇒ΔAOM=ΔCOP (c.g.c) ⇒OM=OP (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra OM=ON=OP⇒ O cũng là giao điểm các đường trung trực của ΔMNP.

...Xem thêm

Answer 3

a) Vì ΔABC đều nên AB=BC=AC; $∠$ ABC= $∠$ CAB= $∠$ ACB (tính chất tam giác đều).

Mà AM = BN = CP nên suy ra BM = CN = AP.

Xét ΔAMP và ΔBNM có:

AM=BN(cmt)

$∠$ MAP= $∠$ MBN(gt)

AP=BM(cmt)

⇒ΔAMP=ΔBNM (c.g.c)

⇒MP=MN (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔBNM và ΔCPN có:

CP=BN(cmt)

$∠$ MBN= $∠$ NCP(gt)

NC=BM(cmt)

⇒ΔCPN=ΔBNM(c.g.c)

⇒PN=MN (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra MN = MP = PN. Vậy ΔMNP là tam giác đều.

b) Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA = OB = OC (tính chất ba đường trung trực của tam giác)

$\Rightarrow$ Các tia AO, BO, CO lần lượt là đường phân giác của 3 góc bằng nhau $∠ B A C; ∠ A B C; ∠ A C B$

$\Rightarrow ∠ M A O = ∠ P A O = ∠ P C O = ∠ N C O = ∠ N B O = ∠ M B O$

Xét ΔAOM và ΔBON có:

AO=BO(cmt)

$∠$ 0(cmt)

AM=BN(cmt)

⇒ ΔAOM=ΔBON(c.g.c)

⇒ OM=ON (2 cạnh tương ứng)

Xét ΔAOM và ΔCOP có:

AO=CO(cmt)

$∠$ 1(cmt)

AM=CP(cmt)

⇒ΔAOM=ΔCOP (c.g.c) ⇒OM=OP (2 cạnh tương ứng)

Từ đó suy ra OM=ON=OP⇒ O cũng là giao điểm các đường trung trực của ΔMNP.

Answer 4

a, Vì tam giác ABC đều (gt) nên AB=AC=BC

Ta lại có: AM=BN=CP (gt)

Suy ra BM=CN=AP

Ta sẽ chứng minh được tam giác AMP=tam giác BNM; tam giác AMP= tam giác CPN(c.g.c)

=> MP=MN ; MP=PN(cặp cạnh tương ứng)

=> MN=NP=PM

=> tam giác MNP là tam giác đều(đpcm)

b, Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA=OB=OC(Vì giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác ABC cách đều 3 đỉnh của tam giác đó) và các tia AO,BO,CO, lần lượt là các tia phân giác của các góc A, B,C. Ta sẽ chứng minh được tam giác MAO= tam giác NPO; tam giác MAO=tam giác PCO(c.g.c)

=> OM=ON; OM=OP (cặp cạnh tương ứng)

=> OM=ON=OP

=> O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP(đpcm)

Answer 5

Đáp án:

a, Vì tam giác ABC đều (gt) nên AB=AC=BC

Ta lại có: AM=BN=CP (gt)

Suy ra BM=CN=AP

Ta sẽ chứng minh được tam giác AMP=tam giác BNM; tam giác AMP= tam giác CPN(c.g.c)

=> MP=MN ; MP=PN(cặp cạnh tương ứng)

=> MN=NP=PM

=> tam giác MNP là tam giác đều(đpcm)

b, Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA=OB=OC(Vì giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác ABC cách đều 3 đỉnh của tam giác đó) và các tia AO,BO,CO, lần lượt là các tia phân giác của các góc A, B,C. Ta sẽ chứng minh được tam giác MAO= tam giác NPO; tam giác MAO=tam giác PCO(c.g.c)

=> OM=ON; OM=OP (cặp cạnh tương ứng)

=> OM=ON=OP

=> O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP

Answer 6

Đáp án:

a, Vì tam giác ABC đều (gt) nên AB=AC=BC

Ta lại có: AM=BN=CP (gt)

Suy ra BM=CN=AP

Ta sẽ chứng minh được tam giác AMP=tam giác BNM; tam giác AMP= tam giác CPN(c.g.c)

=> MP=MN ; MP=PN(cặp cạnh tương ứng)

=> MN=NP=PM

=> tam giác MNP là tam giác đều(đpcm)

b, Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA=OB=OC(Vì giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác ABC cách đều 3 đỉnh của tam giác đó) và các tia AO,BO,CO, lần lượt là các tia phân giác của các góc A, B,C. Ta sẽ chứng minh được tam giác MAO= tam giác NPO; tam giác MAO=tam giác PCO(c.g.c)

=> OM=ON; OM=OP (cặp cạnh tương ứng)

=> OM=ON=OP

=> O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP

Answer 7

Đáp án:

a, Vì tam giác ABC đều (gt) nên AB=AC=BC

Ta lại có: AM=BN=CP (gt)

Suy ra BM=CN=AP

Ta sẽ chứng minh được tam giác AMP=tam giác BNM; tam giác AMP= tam giác CPN(c.g.c)

=> MP=MN ; MP=PN(cặp cạnh tương ứng)

=> MN=NP=PM

=> tam giác MNP là tam giác đều(đpcm)

b, Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA=OB=OC(Vì giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác ABC cách đều 3 đỉnh của tam giác đó) và các tia AO,BO,CO, lần lượt là các tia phân giác của các góc A, B,C. Ta sẽ chứng minh được tam giác MAO= tam giác NPO; tam giác MAO=tam giác PCO(c.g.c)

=> OM=ON; OM=OP (cặp cạnh tương ứng)

=> OM=ON=OP

=> O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP

Answer 8

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần một.

a) Chứng minh tam giác MNP là tam giác đều

Gọi độ dài cạnh của tam giác đều ABC là $ a $. Theo giả thiết, ta có:

- $ AM = BN = CP = x $ (với $ x < \frac{a}{2} $)

Ta sẽ tính độ dài các cạnh của tam giác MNP.

1. Tính độ dài cạnh MN:
- Ta có $ AN = AB - AM = a - x $.
- Tương tự, $ BM = BN = x $.
- Do đó, $ MN = AN + BM = (a - x) + x = a $.

2. Tính độ dài cạnh NP:
- Tương tự, $ BP = BC - BN = a - x $.
- $ CN = CP = x $.
- Vậy $ NP = BP + CN = (a - x) + x = a $.

3. Tính độ dài cạnh PM:
- $ CP = CA - AP = a - x $.
- $ AM = AM = x $.
- Do đó, $ PM = CP + AM = (a - x) + x = a $.

Từ đó, ta có ba cạnh của tam giác MNP đều bằng $ a $. Vậy tam giác MNP là tam giác đều.

b) Chứng minh rằng O cũng là giao điểm của các đường trung trực của tam giác MNP.

Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác ABC. Ta cần chứng minh rằng O cũng là giao điểm của các đường trung trực của tam giác MNP.

1. Tính chất của O:
- O là điểm cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Do đó, $ OA = OB = OC $.

2. Xét tam giác MNP:
- Ta có $ AM = BN = CP = x $, do đó, $ OM = OA - AM = OA - x $.
- Tương tự, $ ON = OB - BN = OB - x $ và $ OP = OC - CP = OC - x $.

3. Chứng minh O cách đều M, N, P:
- Ta có:
- $ OM = OA - x $
- $ ON = OB - x $
- $ OP = OC - x $

Vì $ OA = OB = OC $, nên $ OM = ON = OP $. Do đó, O cũng là điểm cách đều ba đỉnh M, N, P.

Vậy O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác MNP.

Tóm lại, ta đã chứng minh rằng tam giác MNP là tam giác đều và O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác MNP.

...Xem thêm

Answer 9