Ta có hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh aaa, SA⊥(ABC)SA \perp (ABC)SA⊥(ABC), SA=a3SA = a\sqrt{3}SA=a3​.

a) Góc giữa SB và mặt phẳng (ABC)(ABC)(ABC)
Hình chiếu của SBSBSB lên (ABC)(ABC)(ABC) là AB
⇒ góc giữa SBSBSB và (ABC)(ABC)(ABC) là ∠SBA\angle SBA∠SBA
Xét tam giác vuông SAB (vuông tại A):

tan⁡∠SBA=SAAB=a3a=3\tan \angle SBA = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}tan∠SBA=ABSA​=aa3​​=3​ ⇒∠SBA=60∘\Rightarrow \angle SBA = 60^\circ⇒∠SBA=60∘✅ Góc giữa SBSBSB và (ABC)(ABC)(ABC) là 60∘60^\circ60∘

b) Góc giữa SM và mặt phẳng (ABC)(ABC)(ABC)
MMM là trung điểm của BCBCBC
Trong tam giác đều:
AM=a32AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}AM=2a3​​Hình chiếu của SMSMSM lên (ABC)(ABC)(ABC) là AM
⇒ góc cần tìm là ∠SMA\angle SMA∠SMA
Xét tam giác vuông SAM (vuông tại A):

tan⁡∠SMA=SAAM=a3a3/2=2\tan \angle SMA = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}/2} = 2tan∠SMA=AMSA​=a3​/2a3​​=2 ⇒∠SMA=arctan⁡2\Rightarrow \angle SMA = \arctan 2⇒∠SMA=arctan2✅ Góc giữa SMSMSM và (ABC)(ABC)(ABC) là arctan⁡2\arctan 2arctan2

📌 Kết quả:

a) 60∘60^\circ60∘
b) arctan⁡2\arctan 2arctan2
Nếu bạn muốn mình vẽ hình minh họa hoặc giải theo cách khác (tọa độ) thì nói nha 📐✨

$\color{black}{\text{a) Tính góc giữa đường thẳng } SB \text{ và mặt phẳng } (ABC)}$
$\color{black}{\text{Vì } SA \perp (ABC) \text{ tại } A, \text{ nên } A \text{ là hình chiếu của } S \text{ lên mặt phẳng } (ABC)\text{.}}$

$\color{black}{\text{Do đó, } AB \text{ là hình chiếu của } SB \text{ lên mặt phẳng } (ABC)\text{.}}$

$\color{black}{\text{Góc giữa đường thẳng } SB \text{ và mặt phẳng } (ABC) \text{ chính là góc } \angle SBA \text{.}}$

$\color{black}{\text{Xét tam giác vuông } SAB \text{ tại } A \text{ (do } SA \perp AB \text{):}}$

$\color{black}{\tan \angle SBA = \frac{SA}{AB} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}}$
$\color{black}{\Rightarrow \angle SBA = 60^\circ}$$

$\color{black}{\textbf{Kết luận:}\text{ Góc giữa } (SB, (ABC)) \text{ bằng } 60^\circ\text{.}}$

$\color{black}{\text{b) Tính góc giữa đường thẳng } SM \text{ và mặt phẳng } (ABC)}$
$\color{black}{\text{Tương tự, } A \text{ là hình chiếu của } S \text{ lên } (ABC), \text{ nên } AM \text{ là hình chiếu của } SM \text{ lên mặt phẳng } (ABC)\text{.}}$

$\color{black}{\text{Góc giữa đường thẳng } SM \text{ và mặt phẳng } (ABC) \text{ chính là góc } \angle SMA \text{.}}$

$\color{black}{\text{Đầu tiên, ta tính độ dài đoạn thẳng } AM \text{. Vì } M \text{ là trung điểm của cạnh } BC \text{ trong tam giác đều } ABC \text{ cạnh } a, \text{ nên } AM \text{ là đường cao:}}$

$$\color{black}{AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}}$$
$\color{black}{\text{Xét tam giác vuông } SAM \text{ tại } A \text{ (do } SA \perp AM \text{):}}$

$$\color{black}{\tan \angle SMA = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}} = 2}$$
$\color{black}{\Rightarrow \angle SMA = \arctan(2) \approx 63,43^\circ}$$

$\color{black}{\textbf{Kết luận:}\text{ Góc giữa } (SM, (ABC)) \text{ là } \arctan(2)\text{.}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$