$\color{blue}{\text{1. Biến đổi vế trái (VT)}}$
$\color{blue}{VT = (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2}$
$\color{blue}{VT = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 - 2bc + c^2 + c^2 - 2ca + a^2}$
$\color{blue}{VT = 2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)}$

$\color{blue}{\text{2. Biến đổi vế phải (VP)}}$
$\color{blue}{VP = (a + b - 2c)^2 + (b + c - 2a)^2 + (c + a - 2b)^2}$
$\color{blue}{\text{Sử dụng hằng đẳng thức mở rộng: } (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Khai triển từng hạng tử:}}$

$\color{blue}{(a + b - 2c)^2 = a^2 + b^2 + 4c^2 + 2ab - 4bc - 4ca}$
$\color{blue}{(b + c - 2a)^2 = b^2 + c^2 + 4a^2 + 2bc - 4ca - 4ab}$
$\color{blue}{(c + a - 2b)^2 = c^2 + a^2 + 4b^2 + 2ca - 4ab - 4bc}$
$\color{blue}{\text{Cộng các hạng tử lại:}}$

$\color{blue}{VP = (1+4+1)a^2 + (1+1+4)b^2 + (4+1+1)c^2 + (2-4-4)ab + (-4+2-4)bc + (-4-4+2)ca}$
$\color{blue}{VP = 6a^2 + 6b^2 + 6c^2 - 6ab - 6bc - 6ca}$
$\color{blue}{VP = 6(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)}$

$\color{blue}{\text{3. So sánh và Kết luận}}$
$\color{blue}{\text{Từ giả thiết } VT = VP\text{, ta có:}}$

$\color{blue}{2(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 6(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)}$
$\color{blue}{\iff 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0}$
$\color{blue}{\iff a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0}$
$\color{blue}{\text{Nhân cả hai vế với 2:}}$

$\color{blue}{2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0}$
$\color{blue}{\iff (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) = 0}$
$\color{blue}{\iff (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0}$
$\color{blue}{\text{Vì } (a - b)^2 \ge 0, (b - c)^2 \ge 0, (c - a)^2 \ge 0 \text{ với mọi } a, b, c \text{.}}$

$\color{blue}{\text{Để tổng của chúng bằng 0 thì từng số hạng phải bằng 0:}}$

$\color{blue}{\begin{cases} a - b = 0 \\ b - c = 0 \\ c - a = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a = b \\ b = c \\ c = a \end{cases} \iff a = b = c}$
$\color{blue}{\text{Vậy ta có điều phải chứng minh.}}$

#$\color{red}{\text{u}}\color{orange}{\text{y}}\color{yellow}{\text{e}}\color{green}{\text{n}}\color{blue}{\text{c}}\color{indigo}{\text{u}}\color{violet}{\text{t}}\color{red}{\text{e}}\color{orange}{\text{c}}\color{yellow}{\text{o}}\color{green}{\text{r}}\color{blue}{\text{e}}$