a) Chứng minh AECF là hình bình hành
- Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AB = CD.
Ta có:
E là trung điểm của CD nên CE = $\frac{1}{2}CD$.
F là trung điểm của AB nên AF = $\frac{1}{2}$AB.
- Do AB = CD nên AF = CE.
- Xét tứ giác AECF có: AF // CE (vì AB // CD) và AF = CE.
=> Tứ giác AECF là hình bình hành (tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
b) Chứng minh O, E, F thẳng hàng
- Trong hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, nên O là trung điểm của AC.
- Tứ giác AECF là hình bình hành (chứng minh ở câu a), có hai đường chéo là AC và EF.
- Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Mà O đã là trung điểm của AC, nên O cũng phải là trung điểm của EF.
=> O, E, F thẳng hàng (cùng nằm trên đường chéo của hình bình hành AECF).
c) Chứng minh M là trọng tâm $∆$ABC và AE = 3FM
- Xét $∆$ABC, ta có:
BO là đường trung tuyến (vì O là trung điểm AC).
CF là đường trung tuyến (vì F là trung điểm AB).
M là giao điểm của BO (tức đường chéo BD) và CF.
=> M là trọng tâm của $∆$ABC.
- Theo tính chất trọng tâm: FM = $\frac{1}{3}$CF.
- Vì AECF là hình bình hành nên CF = AE.
Thay vào ta có: FM = $\frac{1}{3}$AE => AE = 3FM (đpcm).
d) Chứng minh DN = NM = MB và ON = $\frac{1}{3}$OB
- Tương tự câu c, xét $∆$ADC: DO là trung tuyến và AE là trung tuyến. N là giao điểm nên N là trọng tâm $∆$ADC.
- Từ tính chất trọng tâm:
+ Trong $∆$ADC: DN = $\frac{2}{3}$DO. Mà DO = $\frac{1}{2}$BD => DN = $\frac{1}{3}$BD.
+ Trong $∆$ABC: BM =$\frac{2}{3}$BO. Mà BO = $\frac{1}{2}$BD => BM = $\frac{1}{3}$BD.
Do đó: NM = BD - DN - BM = BD - $\frac{1}{3}$BD - $\frac{1}{3}$BD = $\frac{1}{3}$BD.
=> DN = NM = MB.
- Về đoạn ON: Vì N là trọng tâm $∆$ADC nên ON = $\frac{1}{3}$DO. Mà DO = OB (tính chất hình bình hành ABCD).
=> ON = $\frac{1}{3}$OB.