Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính chu vi
1. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng:
- Ta tính tọa độ các vectơ AB và AC:
$\vec{A B} = (3 - 2; 2 - 1; 0 - (- 1)) = (1; 1; 1)$
$\vec{A C}$ = (2-2; -1-1; 3-(-1)) = (0; -2; 4)
Ta thấy: $\frac{1}{0} \neq \frac{1}{- 2}$ (các tọa độ không tỉ lệ), do đó hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương.
=> Ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vậy chúng tạo thành một tam giác.
2. Tính độ dài các cạnh:
- Sử dụng công thức độ dài đoạn thẳng $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ :
$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$
$A C = | \vec{A C} | = \sqrt{0^{2} + {(- 2)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$
$\vec{B C} = (2 - 3; - 1 - 2; 3 - 0) = (- 1; - 3; 3)$
=> BC = $\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{19}$
3. Tính chu vi tam giác ABC:
$P = A B + A C + B C = \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{19} \approx 10, 57$ (đơn vị độ dài)
b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh
Công thức tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng XY là: $(\frac{x_{X} + x_{Y}}{2}; \frac{y_{X} + y_{Y}}{2}; \frac{z_{X} + z_{Y}}{2})$
- Trung điểm M₁ của cạnh AB: $M_{1} = (\frac{2 + 3}{2}; \frac{1 + 2}{2}; \frac{- 1 + 0}{2}) = (𝟐, 𝟓; 𝟏, 𝟓; - 𝟎, 𝟓)$
- Trung điểm M₂ của cạnh BC: $M_{2} = (\frac{3 + 2}{2}; \frac{2 - 1}{2}; \frac{0 + 3}{2}) = (𝟐, 𝟓; 𝟎, 𝟓; 𝟏, 𝟓)$
- Trung điểm M₃ của cạnh AC: $M_{3} = (\frac{2 + 2}{2}; \frac{1 - 1}{2}; \frac{- 1 + 3}{2}) = (𝟐; 𝟎; 𝟏)$
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
=> Công thức tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
$G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$
- Thay số vào ta có:
$x_{G} = \frac{2 + 3 + 2}{3} = \frac{7}{3}$
$y_{G} = \frac{1 + 2 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$z_{G} = \frac{- 1 + 0 + 3}{3} = \frac{2}{3}$
Vậy tọa độ trọng tâm G là: $G (\frac{7}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ .

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính chu vi
1. Chứng minh A, B, C không thẳng hàng:
- Ta tính tọa độ các vectơ AB và AC:
$\vec{A B} = (3 - 2; 2 - 1; 0 - (- 1)) = (1; 1; 1)$
$\vec{A C}$ = (2-2; -1-1; 3-(-1)) = (0; -2; 4)
Ta thấy: $\frac{1}{0} \neq \frac{1}{- 2}$ (các tọa độ không tỉ lệ), do đó hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương.
=> Ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vậy chúng tạo thành một tam giác.
2. Tính độ dài các cạnh:
- Sử dụng công thức độ dài đoạn thẳng $d = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2} + {(z_{2} - z_{1})}^{2}}$ :
$A B = | \vec{A B} | = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}$
$A C = | \vec{A C} | = \sqrt{0^{2} + {(- 2)}^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$
$\vec{B C} = (2 - 3; - 1 - 2; 3 - 0) = (- 1; - 3; 3)$
=> BC = $\sqrt{{(- 1)}^{2} + {(- 3)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{19}$
3. Tính chu vi tam giác ABC:
$P = A B + A C + B C = \sqrt{3} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{19} \approx 10, 57$ (đơn vị độ dài)
b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh
Công thức tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng XY là: $(\frac{x_{X} + x_{Y}}{2}; \frac{y_{X} + y_{Y}}{2}; \frac{z_{X} + z_{Y}}{2})$
- Trung điểm M₁ của cạnh AB: $M_{1} = (\frac{2 + 3}{2}; \frac{1 + 2}{2}; \frac{- 1 + 0}{2}) = (𝟐, 𝟓; 𝟏, 𝟓; - 𝟎, 𝟓)$
- Trung điểm M₂ của cạnh BC: $M_{2} = (\frac{3 + 2}{2}; \frac{2 - 1}{2}; \frac{0 + 3}{2}) = (𝟐, 𝟓; 𝟎, 𝟓; 𝟏, 𝟓)$
- Trung điểm M₃ của cạnh AC: $M_{3} = (\frac{2 + 2}{2}; \frac{1 - 1}{2}; \frac{- 1 + 3}{2}) = (𝟐; 𝟎; 𝟏)$
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
=> Công thức tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC:
$G (\frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3}; \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3}; \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3})$
- Thay số vào ta có:
$x_{G} = \frac{2 + 3 + 2}{3} = \frac{7}{3}$
$y_{G} = \frac{1 + 2 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$z_{G} = \frac{- 1 + 0 + 3}{3} = \frac{2}{3}$
Vậy tọa độ trọng tâm G là: $G (\frac{7}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3})$ .

Answer 3

Chào bạn, đây là lời giải chi tiết cho bài toán hình học không gian $Oxyz$ với ba điểm $A, B, C$ đã cho:

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tính chu vi
Để chứng minh ba điểm $A, B, C$ tạo thành một tam giác, ta cần chứng minh chúng không thẳng hàng. Điều này tương đương với việc hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương.

Tính tọa độ các vectơ:

$\vec{AB} = (3-2; 2-1; 0-(-1)) = (1; 1; 1)$
$\vec{AC} = (2-2; -1-1; 3-(-1)) = (0; -2; 4)$
Xét tính cùng phương:

Ta thấy không tồn tại số thực $k$ nào để $\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}$ (vì tỉ số các tọa độ $\frac{1}{0} \neq \frac{1}{-2} \neq \frac{1}{4}$).

$\Rightarrow$ Hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương.

Kết luận: $A, B, C$ là ba đỉnh của một tam giác.
Tính chu vi tam giác ABC:

Chu vi $P = AB + BC + CA$. Ta tính độ dài từng cạnh:

$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$
$BC = \sqrt{(2-3)^2 + (-1-2)^2 + (3-0)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-3)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9 + 9} = \sqrt{19}$
$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
Vậy chu vi: $P = \sqrt{3} + \sqrt{19} + 2\sqrt{5}$

b) Tìm tọa độ trung điểm các cạnh
Công thức tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $XY$ là: $M\left(\frac{x_X + x_Y}{2}; \frac{y_X + y_Y}{2}; \frac{z_X + z_Y}{2}\right)$.

Trung điểm $M_{AB}$ của cạnh AB:

$x = \frac{2+3}{2} = 2.5; \quad y = \frac{1+2}{2} = 1.5; \quad z = \frac{-1+0}{2} = -0.5$

$\Rightarrow M_{AB}(2.5; 1.5; -0.5)$
Trung điểm $M_{BC}$ của cạnh BC:

$x = \frac{3+2}{2} = 2.5; \quad y = \frac{2-1}{2} = 0.5; \quad z = \frac{0+3}{2} = 1.5$

$\Rightarrow M_{BC}(2.5; 0.5; 1.5)$
Trung điểm $M_{AC}$ của cạnh AC:

$x = \frac{2+2}{2} = 2; \quad y = \frac{1-1}{2} = 0; \quad z = \frac{-1+3}{2} = 1$

$\Rightarrow M_{AC}(2; 0; 1)$

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Công thức tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh:

$x_G = \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \quad y_G = \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \quad z_G = \frac{z_A + z_B + z_C}{3}$
$x_G = \frac{2 + 3 + 2}{3} = \frac{7}{3}$
$y_G = \frac{1 + 2 - 1}{3} = \frac{2}{3}$
$z_G = \frac{-1 + 0 + 3}{3} = \frac{2}{3}$
Vậy tọa độ trọng tâm là: $G\left(\frac{7}{3}; \frac{2}{3}; \frac{2}{3}\right)$