1. Lý thuyết: Mối liên hệ giữa $\overrightarrow{u} và \overrightarrow{n}$
- Để một vectơ $\overrightarrow{u}$(a; b; c) là vectơ chỉ phương và $\overrightarrow{n}$(x; y; z) là vectơ pháp tuyến của cùng một đường thẳng, chúng phải vuông góc với nhau. Theo định nghĩa tích vô hướn
$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}=0\iff a\cdot x+b\cdot y+c\cdot z=0$
- Khác với mặt phẳng Oxy (chỉ cần đảo vị trí và thêm dấu trừ), trong không gian Oxyz, từ một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}$, bạn có thể chọn bất kỳ vectơ $\overrightarrow{u}$ nào sao cho tổng tích các tọa độ bằng 0.
2. Cách chuyển đổi (Giải quyết ví dụ)
Cho $\overrightarrow{n}$ = (1; 1; -1). Để tìm $\overrightarrow{u}$ = (a; b; c), ta giải phương trình:
$1\cdot a+1\cdot b+(-1)\cdot c=0\iff a+b-c=0$
- Vì có 3 ẩn nhưng chỉ có 1 phương trình, bạn có quyền chọn tùy ý 2 giá trị (không đồng thời bằng 0) để suy ra giá trị còn lại.
=> Các ví dụ về tọa độ $\overrightarrow{u}$ có thể có:
Cách 1: Chọn a=1, b = 0 $\Rightarrow$ 1 + 0 - c = 0 $\Rightarrow$ c = 1. Vậy $\overrightarrow{u_1}$ = (1; 0; 1).
Cách 2: Chọn a=0, b = 1 $\Rightarrow$ 0 + 1 - c = 0 $\Rightarrow$ c = 1. Vậy $\overrightarrow{u_2}$ = (0; 1; 1).
Cách 3: Chọn a=1, b = 1 $\Rightarrow$ 1 + 1 - c = 0 $\Rightarrow$ c = 2. Vậy $\overrightarrow{u_3}$ = (1; 1; 2).
=> Lưu ý quan trọng: Thông thường, bài toán sẽ cho đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng có hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}$ và $\overrightarrow{n_2}$. Khi đó, vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$ được tính bằng tích có hướng:
$\overrightarrow{u}=[{\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2]$