a) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và MN
Xét $∆$ABC có MN // BC và EF // BC. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống BC. Các điểm K, I nằm trên AH sao cho AK = KI = IH.
- Vì AK = KI = IH, ta có tỉ lệ các đoạn thẳng trên đường cao như sau:
AK =$\frac{1}{3}$AH
AI = AK + KI = $\frac{2}{3}$AH
1. Tính MN:
Vì MN // BC, theo hệ quả định lý Thales trong $∆$ABC: $\frac{MN}{BC}=\frac{AK}{AH}$
=> Thay số: $\frac{MN}{15}=\frac{1}{3} \Rightarrow MN=15\cdot \frac{1}{3}=\mathrm{𝟓} \mathrm{𝐜𝐦}$

2. Tính EF:
Vì EF // BC, theo hệ quả định lý Thales trong $∆$ABC: $\frac{EF}{BC}=\frac{AI}{AH}$
=> Thay số: $\frac{EF}{15}=\frac{2}{3}\Rightarrow EF=15\cdot \frac{2}{3}=10 \mathrm{𝐜𝐦}$
b) Tính diện tích tứ giác MNEF
- Tứ giác MNEF là hình thang (vì MN // EF do cùng song song với BC).
Đáy nhỏ: MN = 5 cm
Đáy lớn: EF = 10 cm
Chiều cao của hình thang chính là đoạn KI.
Chiều cao AH của tam giác ABC là:
Ta có: Diện tích $∆$ABC là:
$\Rightarrow 270=\frac{1}{2}\cdot 15\cdot AH\Rightarrow AH=\frac{270\cdot 2}{15}=36 cm$
Chiều cao KI của hình thang là: 
- Theo đề bài: AK = KI = IH = $\frac{1}{3}$AH
=> KI = $\frac{1}{3}\cdot 36=12 cm$, cm
Diện tích tứ giác MNEF là: $S_{MNEF}=\frac{(MN+EF)\cdot KI}{2}$
=> $S_{MNEF}=\frac{(5+10)\cdot 12}{2}=\frac{15\cdot 12}{2}=\mathrm{𝟗𝟎} {\mathrm{𝐜𝐦}}^{\mathrm{𝟐}}$
Vậy:
MN = 5 cm, EF = 10 cm
S_MNEF = 90 cm²

$\color{blue}{\text{a) Tính độ dài các đoạn thẳng EF và MN}}$
$\color{blue}{\text{Vì } AK = KI = IH \text{ và } AH = AK + KI + IH \text{, nên ta có:}}$

$\color{blue}{AK = \frac{1}{3} AH}$
$\color{blue}{AI = AK + KI = \frac{2}{3} AH}$
$\color{blue}{\text{Xét tam giác ABC với MN // BC:}}$

$\color{blue}{\text{Theo hệ quả của định lý Thales, ta có:}}$

$\color{blue}{\frac{MN}{BC} = \frac{AK}{AH} = \frac{1}{3}}$
$\color{blue}{MN = \frac{1}{3} \times BC = \frac{1}{3} \times 15 = 5 \text{ (cm)}}$
$\color{blue}{\text{Xét tam giác ABC với EF // BC:}}$

$\color{blue}{\text{Tương tự, ta có:}}$

$\color{blue}{\frac{EF}{BC} = \frac{AI}{AH} = \frac{2}{3}}$
$\color{blue}{EF = \frac{2}{3} \times BC = \frac{2}{3} \times 15 = 10 \text{ (cm)}}$

$\color{blue}{\text{b) Tính diện tích tứ giác MNEF}}$
$\color{blue}{\text{Tứ giác MNEF là hình thang (vì MN // EF do cùng song song với BC).}}$

$\color{blue}{\text{Đường cao của hình thang MNEF chính là đoạn } KI\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Ta biết } KI = \frac{1}{3} AH\text{.}}$

$\color{blue}{\text{Diện tích tam giác ABC là:}}$

$\color{blue}{S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AH \times BC = 270 \text{ cm}^2}$
$\color{blue}{\frac{1}{2} \times AH \times 15 = 270 \implies AH = \frac{270 \times 2}{15} = 36 \text{ (cm)}}$
$\color{blue}{\text{Độ dài đường cao } KI \text{ của hình thang là:}}$

$\color{blue}{KI = \frac{1}{3} \times AH = \frac{1}{3} \times 36 = 12 \text{ (cm)}}$
$\color{blue}{\text{Diện tích tứ giác MNEF là:}}$

$\color{blue}{S_{MNEF} = \frac{(MN + EF) \times KI}{2}}$
$$\color{blue}{S_{MNEF} = \frac{(5 + 10) \times 12}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90 \text{ (cm}^2\color{blue}{)}$$

$\color{blue}{\text{Kết quả:}}$

$\color{blue}{\text{a) } MN = 5 \text{ cm, } EF = 10 \text{ cm.}}$
$\color{blue}{\text{b) } S_{MNEF} = 90 \text{ cm}^2.}$