Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Ta có: $A = 13 x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 y - 16 x + 2030$
= (y² + 4xy - 2y) + 13x² - 16x + 2030
= $[y^{2} + 2 y (2 x - 1) + {(2 x - 1)}^{2}] - {(2 x - 1)}^{2} + 13 x^{2} - 16 x + 2030$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} - (4 x^{2} - 4 x + 1) + 13 x^{2} - 16 x + 2030$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 1 + 13 x^{2} - 16 x + 2030$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} + 9 x^{2} - 12 x + 2029$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} + (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 + 2029$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} + {(3 x - 2)}^{2} + 2025$
- Vì với mọi x, y, ta luôn có:
${(y + 2 x - 1)}^{2} \geq 0$
${(3 x - 2)}^{2} \geq 0$
Do đó: $A = {(y + 2 x - 1)}^{2} + {(3 x - 2)}^{2} + 2025 \geq 2025$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$
$y + 2 x - 1 = 0 \Rightarrow y + 2 (\frac{2}{3}) - 1 = 0 \Rightarrow y + \frac{4}{3} - 1 = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{3}$
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2025, đạt được khi x = $\frac{2}{3}$ và $y = $- \frac{1}{3}$ .

...Xem thêm

Answer 2

Ta có: $A = 13 x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 y - 16 x + 2030$
= (y² + 4xy - 2y) + 13x² - 16x + 2030
= $[y^{2} + 2 y (2 x - 1) + {(2 x - 1)}^{2}] - {(2 x - 1)}^{2} + 13 x^{2} - 16 x + 2030$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} - (4 x^{2} - 4 x + 1) + 13 x^{2} - 16 x + 2030$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} + 4 x - 1 + 13 x^{2} - 16 x + 2030$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} + 9 x^{2} - 12 x + 2029$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} + (9 x^{2} - 12 x + 4) - 4 + 2029$
= ${(y + 2 x - 1)}^{2} + {(3 x - 2)}^{2} + 2025$
- Vì với mọi x, y, ta luôn có:
${(y + 2 x - 1)}^{2} \geq 0$
${(3 x - 2)}^{2} \geq 0$
Do đó: $A = {(y + 2 x - 1)}^{2} + {(3 x - 2)}^{2} + 2025 \geq 2025$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
$3 x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{2}{3}$
$y + 2 x - 1 = 0 \Rightarrow y + 2 (\frac{2}{3}) - 1 = 0 \Rightarrow y + \frac{4}{3} - 1 = 0 \Rightarrow y = - \frac{1}{3}$
Vậy: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2025, đạt được khi x = $\frac{2}{3}$ và $y = $- \frac{1}{3}$ .

Answer 3

Bước 1: Gom theo yyy
A=y2+(4x−2)y+13x2−16x+2030 Hoàn thành bình phương theo y

y2+(4x−2)y=(y+2x−1)2−(2x−1)2 Thay vào:

A=(y+2x−1)2−(2x−1)2+13x2−16x+2030A = (y + 2x - 1)^2 - (2x - 1)^2 + 13x^2 - 16x + 2030A=(y+2x−1)2−(2x−1)2+13x2−16x+2030
Bước 2: Rút gọn theo x
−(2x−1)2+13x2=−(4x2−4x+1)+13x2-(2x - 1)^2 + 13x^2 = - (4x^2 - 4x +1) + 13x^2−(2x−1)2+13x2=−(4x2−4x+1)+13x2 =9x2−12x−1= 9x^2 - 12x - 1=9x2−12x−1Suy ra:

A=(y+2x−1)2+9x2−12x+2029A = (y + 2x - 1)^2 + 9x^2 - 12x + 2029A=(y+2x−1)2+9x2−12x+202
Bước 3: Hoàn thành bình phương theo xxx
9x2−12x=9(x−23)2−49x^2 - 12x = 9Thay vào:

A=(y+2x−1)2+9(x−23)2+2025
Bước 4: Tìm GTNN
Vì:

(y+2x−1)2≥0,9(x−23)2≥0(y + 2x - 1)^2 \ge 0,\quad 9\left(x - \frac{2}{3}\right)^2 \ge 0(y+2x−1)2≥0,9(x−32)2≥0⇒ A nhỏ nhất khi:

{x=23y+2x−1=0⇒y=−13\begin{cases} x = \frac{2}{3} \\ y + 2x - 1 = 0 \Rightarrow y = -\frac{1}{3} \end{cases}{x=32y+2x−1=0⇒y=−31
✅ Kết luận
GTNN của A=2025\đạt được khi:

x=23, y=−13\x=32, y=−31