- Gọi các kích thước của bể nước là:
+ Chiều rộng đáy bể: x (m, x > 0)
+ Chiều dài đáy bể: 2x (m) (vì chiều dài gấp đôi chiều rộng)
+ Chiều cao của bể: h (m, h > 0)
Thể tích của bể (V): $V=dài \times rộng\times cao=2x.x.h=2x^2.h$
- Theo đề bài V = 432, ta có: 2x².h = 432 => h =$\frac{432}{2x^2}$ = $\frac{216}{x^2}$
Diện tích cần xây dựng (S):
- Bể không có nắp nên diện tích mặt trong bao gồm 1 mặt đáy và 4 mặt xung quanh:
S = S_đáy + S_{xung quanh}
S = (2x. x) + 2(2x.h) + 2(x.h)
S = 2x² + 6x.h
- Thay h = $\frac{216}{x^2}$ vào biểu thức S: S = 2x² + 6x $\left(\frac{216}{x^2}\right)$ = 2x² +$\frac{1296}{x}$
- Để tìm S nhỏ nhất, ta có thể dùng đạo hàm hoặc bất đẳng thức Cauchy (AM-GM).
- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:
S = 2x² + $\frac{648}{x}$ + $\frac{648}{x}$ $\ge$ $3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{648}{x}\cdot \frac{648}{x}}$
=> S $\ge 3\sqrt[3]{2.{648}^2}=3\sqrt[3]{839808}=3.94,26\mathrm{\dots }$
(Tính toán trực tiếp sẽ chính xác hơn bằng đạo hàm).
=> Sử dụng đạo hàm: $S^{\text{'}}\left(x\right)=4x-\frac{1296}{x^2}$
- Cho S'(x) = 0 => 4x³ = 1296 => x³ = 324 => x = $\sqrt[3]{324}\approx 6,87$(m)
- Thay x² = $\sqrt[3]{{324}^2}$ vào lại biểu thức S:
S_min = $2{\left(\sqrt[3]{324}\right)}^2+\frac{1296}{\sqrt[3]{324}}\approx 283,05 m^2$
Đơn giá: 400.000 đồng/m².
Tổng chi phí = S_min $\times$ 400.000
$\mathrm{Chí} \mathrm{phí}=283,05\times 400.000=\mathrm{113.220.000} đồng$
Làm tròn đến hàng đơn vị theo triệu đồng: 113 triệu đồng.