Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

$S = \vec{M A} . \vec{M B} + 2 . \vec{M B} . \vec{M C} + 3 . \vec{M C} . \vec{M A}$
- Ta sử dụng công thức biến đổi tích vô hướng dựa trên bình đẳng thức:
$\vec{u} . \vec{v} = {| \vec{u} |}^{2} + {| \vec{v} |}^{2} - {| \vec{u} - \vec{v} |}^{2}$ .
=> Áp dụng vào từng số hạng: $\vec{M A} . \vec{M B} = \frac{1}{2} . (M A^{2} + M B^{2} - A B^{2})$
=> $\vec{M B} . \vec{M C} = M B^{2} + M C^{2} - B C^{2}$
=> $\vec{M C} . \vec{M A} = \frac{3}{2} (M C^{2} + M A^{2} - A C^{2})$
- Thay vào S, ta có: $S = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) . M A^{2} + (\frac{1}{2} + 1) . M B^{2} + (1 + \frac{3}{2}) . M C^{2} - c o n s t$
$S = 2 . M A^{2} + \frac{3}{2} . M B^{2} + \frac{5}{2} . M C^{2} - c o n s t$
=> Nhân cả hai vế với 2 để dễ tính toán, ta cần tìm M để biểu thức sau đạt GTNN:
$P = 4 . M A^{2} + 3 . M B^{2} + 5 . M C^{2}$
- Gọi I là điểm thỏa mãn: $\vec{I A} + \vec{3 . I B} + 5 . \vec{I C} = \vec{0} .$
=> Tọa độ điểm I(x_I; y_I; z_I) được tính bằng công thức:
$x_{I} = \frac{4 . x_{A} + 3 . x_{B} + 5 . x_{C}}{4 + 3 + 5} = \frac{4 . (1) + 3 . (- 2) + 5 . (0)}{12} = \frac{- 2}{12} = - \frac{1}{6}$

$y_{I} = \frac{4 . y_{A} + 3 . y_{B} + 5 . y_{C}}{12} = \frac{4 . (- 1) + 3 . (0) + 5 . (1)}{12} = \frac{1}{12}$
$z_{I} = \frac{4 . z_{A} + 3 . z_{B} + 5 . z_{C}}{12} = \frac{4 . (2) + 3 . (3) + 5 . (- 2)}{12} = \frac{7}{12}$
Vậy $(- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; \frac{7}{12}) .$
- Chèn điểm I vào biểu thức P:
=> $P = 4 . {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 3 . {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + 5 . {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}$
=> P = (4 + 3 + 5).MI² + (4.IA² + 3.IB² + 5.IC²) + $2 . \vec{M I} . (4 . \vec{I A} + 3 . \vec{I B} + 5 . \vec{I C})$
- Vì $\vec{I A} + 3 . \vec{I B} + 5 . \vec{I C} = \vec{0}$ , ta còn lại: $P = 12 . M I^{2} + c o n s t$
- Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì MI phải nhỏ nhất.
- Vì M thuộc mặt phẳng (Oxy), nên M chính là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oxy).
- Điểm M là hình chiếu của I $(- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; \frac{7}{12})$ lên (Oxy) nên ta giữ nguyên x, y và cho z = 0: $M (- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; 0)$
Suy ra: a = $- \frac{1}{6}$ , b = $\frac{1}{12}$ , c = 0.
=> T = 12a + 12b + c
=> T = $12 \cdot (- \frac{1}{6}) + 12 \cdot (\frac{1}{12}) + 0$
=> T = -2 + 1 + 0 = -1
Kết luận: Giá trị của biểu thức là T = -1.

...Xem thêm

Answer 2

$S = \vec{M A} . \vec{M B} + 2 . \vec{M B} . \vec{M C} + 3 . \vec{M C} . \vec{M A}$
- Ta sử dụng công thức biến đổi tích vô hướng dựa trên bình đẳng thức:
$\vec{u} . \vec{v} = {| \vec{u} |}^{2} + {| \vec{v} |}^{2} - {| \vec{u} - \vec{v} |}^{2}$ .
=> Áp dụng vào từng số hạng: $\vec{M A} . \vec{M B} = \frac{1}{2} . (M A^{2} + M B^{2} - A B^{2})$
=> $\vec{M B} . \vec{M C} = M B^{2} + M C^{2} - B C^{2}$
=> $\vec{M C} . \vec{M A} = \frac{3}{2} (M C^{2} + M A^{2} - A C^{2})$
- Thay vào S, ta có: $S = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}) . M A^{2} + (\frac{1}{2} + 1) . M B^{2} + (1 + \frac{3}{2}) . M C^{2} - c o n s t$
$S = 2 . M A^{2} + \frac{3}{2} . M B^{2} + \frac{5}{2} . M C^{2} - c o n s t$
=> Nhân cả hai vế với 2 để dễ tính toán, ta cần tìm M để biểu thức sau đạt GTNN:
$P = 4 . M A^{2} + 3 . M B^{2} + 5 . M C^{2}$
- Gọi I là điểm thỏa mãn: $\vec{I A} + \vec{3 . I B} + 5 . \vec{I C} = \vec{0} .$
=> Tọa độ điểm I(x_I; y_I; z_I) được tính bằng công thức:
$x_{I} = \frac{4 . x_{A} + 3 . x_{B} + 5 . x_{C}}{4 + 3 + 5} = \frac{4 . (1) + 3 . (- 2) + 5 . (0)}{12} = \frac{- 2}{12} = - \frac{1}{6}$

$y_{I} = \frac{4 . y_{A} + 3 . y_{B} + 5 . y_{C}}{12} = \frac{4 . (- 1) + 3 . (0) + 5 . (1)}{12} = \frac{1}{12}$
$z_{I} = \frac{4 . z_{A} + 3 . z_{B} + 5 . z_{C}}{12} = \frac{4 . (2) + 3 . (3) + 5 . (- 2)}{12} = \frac{7}{12}$
Vậy $(- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; \frac{7}{12}) .$
- Chèn điểm I vào biểu thức P:
=> $P = 4 . {(\vec{M I} + \vec{I A})}^{2} + 3 . {(\vec{M I} + \vec{I B})}^{2} + 5 . {(\vec{M I} + \vec{I C})}^{2}$
=> P = (4 + 3 + 5).MI² + (4.IA² + 3.IB² + 5.IC²) + $2 . \vec{M I} . (4 . \vec{I A} + 3 . \vec{I B} + 5 . \vec{I C})$
- Vì $\vec{I A} + 3 . \vec{I B} + 5 . \vec{I C} = \vec{0}$ , ta còn lại: $P = 12 . M I^{2} + c o n s t$
- Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì MI phải nhỏ nhất.
- Vì M thuộc mặt phẳng (Oxy), nên M chính là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (Oxy).
- Điểm M là hình chiếu của I $(- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; \frac{7}{12})$ lên (Oxy) nên ta giữ nguyên x, y và cho z = 0: $M (- \frac{1}{6}; \frac{1}{12}; 0)$
Suy ra: a = $- \frac{1}{6}$ , b = $\frac{1}{12}$ , c = 0.
=> T = 12a + 12b + c
=> T = $12 \cdot (- \frac{1}{6}) + 12 \cdot (\frac{1}{12}) + 0$
=> T = -2 + 1 + 0 = -1
Kết luận: Giá trị của biểu thức là T = -1.

1 câu trả lời 102

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 12