Vì vai trò của a, b, c là như nhau, không mất tính tổng quát, ta giả sử: 2$\le$ a $\le$ b $\le$ c
- Từ phương trình, ta chia cả hai vế cho abc: $1=\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}+\frac{200}{abc}$
Vì a $\le$ b $\le$ c, ta có các bất đẳng thức:

$\frac{1}{bc}\le \frac{1}{a^2}$
$\frac{1}{ac}\le \frac{1}{a^2}$
$\frac{1}{ab}\le \frac{1}{a^2}$
$\frac{200}{abc}\le \frac{200}{a^3}$
=> $1\le \frac{3}{a^2}+\frac{200}{a^3}$
Nếu a = 2: $1\le \frac{3}{4}+\frac{200}{8}=0.75+25=25.75$ (Thỏa mãn).
Nếu a = 3: $1\le \frac{3}{9}+\frac{200}{27}\approx 0.33+7.4=7.73$ (Thỏa mãn).
Nếu a = 5: $1\le \frac{3}{25}+\frac{200}{125}=0.12+1.6=1.72$ (Thỏa mãn).
Nếu a = 7: $1\le \frac{3}{49}+\frac{200}{343}\approx 0.06+0.58=0.64<1$ (Vô lý).
Vậy a chỉ có thể là 2, 3 hoặc 5.
3. Xét từng trường hợp của a
Trường hợp 1: a = 2
- Thay vào phương trình: 2bc = 2 + b + c + 200 => 2bc - b - c = 202
 =>  4bc - 2b - 2c = 404 => 2b(2c - 1) - (2c - 1) = 405
=> (2b - 1)(2c - 1) = 405
Vì a = 2 $\le$ b $\le$ c nên 3 $\le$ 2b - 1 $\le$ 2c - 1. Các cặp ước của 405 là:
(3, 135) => b = 2, c = 68 (68 không phải số nguyên tố - Loại).
(5, 81) => b = 3, c = 41 (Thỏa mãn: 3 và 41 là số nguyên tố).
(9, 45) => b = 5, c = 23 (Thỏa mãn: 5 và 23 là số nguyên tố).
(15, 27) => b = 8, c = 14 (Loại).
Trường hợp 2: a = 3
- Thay vào phương trình: 3bc = 3 + b + c + 200 => 3bc - b - c = 203
=> 9bc - 3b - 3c = 609 => (3b - 1)(3c - 1) = 610
Vì b $\ge$ a = 3 nên 3b - 1 $\ge$ 8. Các cặp ước của 610 là:
(10, 61) => 3b - 1 = 10 => b = 11/3 (Loại).
Cặp khác: (12.2, 50)... Kiểm tra các ước của 610 (2.5.61) không có giá trị b, c nguyên tố nào thỏa mãn.
- Trường hợp 3: a = 5
Thay vào phương trình: 5bc = 5 + b + c + 200 => 5bc - b - c = 205
 => (5b - 1)(5c - 1) = 1026
 => Kiểm tra tương tự trường hợp trên, với b $\ge$ 5 => 5b - 1 $\ge$ 24, không tìm được b, c nguyên tố thỏa mãn.|
Vậy: Các bộ số nguyên tố (a, b, c) thỏa mãn là các hoán vị của: (2, 3, 41) và $(2, 5, 23).
=> Danh sách nghiệm đầy đủ: (2, 3, 41), (2, 41, 3), (3, 2, 41), (3, 41, 2), (41, 2, 3), (41, 3, 2),
(2, 5, 23), (2, 23, 5), (5, 2, 23), (5, 23, 2), (23, 2, 5), (23, 5, 2)

$\color{purple}{\text{1. Nhận xét về tính chẵn lẻ}}$
$\color{purple}{\text{Giả sử cả } a, b, c \text{ đều là số nguyên tố lẻ.}}$

$\color{purple}{\text{Khi đó, vế trái (VT) } = lẻ + lẻ + lẻ + chẵn = lẻ\text{.}}$
$\color{purple}{\text{Vế phải (VP) } = lẻ \times lẻ \times lẻ = lẻ\text{.}}$

$\color{purple}{\text{Điều này có thể xảy ra. Tuy nhiên, nếu có ít nhất một số chẵn (số 2):}}$
$\color{purple}{\text{Nếu trong } a, b, c \text{ có đúng một số chẵn (giả sử } a=2\text{), thì VP chẵn, VT } = 2 + lẻ + lẻ + 200 = chẵn \text{ (thỏa mãn).}}$
$\color{purple}{\text{Nếu có hai số chẵn, VT lẻ, VP chẵn (loại).}}$
$\color{purple}{\text{2. Trường hợp có số chẵn (Giả sử } a=2\text{)}}$
$\color{purple}{\text{Thay } a=2 \text{ vào phương trình:}}$

$\color{purple}{2 + b + c + 200 = 2bc \Rightarrow b + c + 202 = 2bc}$
$\color{purple}{202 = 2bc - b - c \Rightarrow 404 = 4bc - 2b - 2c}$
$\color{purple}{405 = (2b - 1)(2c - 1)}$
$\color{purple}{\text{Giả sử } b \leq c \text{, ta có các cặp nhân tử của 405 là: } (1, 405), (3, 135), (5, 81), (9, 45), (15, 27)\text{.}}$

$\color{purple}{2b-1=3 \Rightarrow b=2; 2c-1=135 \Rightarrow c=68 \text{ (loại vì 68 không là số nguyên tố).}}$
$\color{purple}{2b-1=5 \Rightarrow b=3; 2c-1=81 \Rightarrow c=41 \text{ (nhận vì 3 và 41 là số nguyên tố).}}$
$\color{purple}{2b-1=9 \Rightarrow b=5; 2c-1=45 \Rightarrow c=23 \text{ (nhận vì 5 và 23 là số nguyên tố).}}$
$\color{purple}{2b-1=15 \Rightarrow b=8 \text{ (loại).}}$
$\color{purple}{\text{3. Trường hợp } a, b, c \text{ đều lẻ}}$
$\color{purple}{\text{Giả sử } 3 \leq a \leq b \leq c \text{. Ta có:}}$

$\color{purple}{abc = a + b + c + 200 \leq 3c + 200}$
 

$\color{purple}{\text{Vì } a, b \geq 3 \text{ nên } abc \geq 9c \text{. Do đó: } 9c \leq 3c + 200 \Rightarrow 6c \leq 200 \Rightarrow c \leq 33\text{.}}$

$\color{purple}{\text{Thử các giá trị lẻ của } a, b \text{ nhỏ nhất là 3, 3: } 27 \leq 3+3+c+200 \Rightarrow c \text{ rất lớn (mâu thuẫn).}}$

$\color{purple}{\text{Bằng cách chặn khoảng giá trị, ta thấy trường hợp này không có nghiệm nguyên tố bổ sung.}}$

$\color{purple}{\text{Kết luận:}}$
$\color{purple}{\text{Các bộ số } (a, b, c) \text{ thỏa mãn là hoán vị của:}}$

$\color{purple}{\mathbf{(2, 3, 41)}}$
$\color{purple}{\mathbf{(2, 5, 23)}}$