Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
Xét $∆$ ABM$ và $∆$ DCM, ta có:
MA = MD (theo cách vẽ).
$\hat{A M B} = \hat{D M C}$ (hai góc đối đỉnh).
MB = MC (vì M là trung điểm BC).
=> $∆$ ABM = $∆$ DCM (cạnh - góc - cạnh).
=> AB = CD (1)
=> $\hat{B A M} = \hat{M D C}$ (hai góc tương ứng).
- Ta có $\hat{B A M} = \hat{C A M}$ (vì AM là phân giác).
- Mà $\hat{B A M} = \hat{M D C}$ (chứng minh trên).
=> $\hat{C A M} = \hat{M D C} h a y \hat{C A D} = \hat{A D C}$ .
=> $∆$ ACD cân tại C => AC = CD (2).
Từ (1) và (2) => AB = AC.
Vậy $∆$ ABC cân tại A (điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
Xét $∆$ ABM$ và $∆$ DCM, ta có:
MA = MD (theo cách vẽ).
$\hat{A M B} = \hat{D M C}$ (hai góc đối đỉnh).
MB = MC (vì M là trung điểm BC).
=> $∆$ ABM = $∆$ DCM (cạnh - góc - cạnh).
=> AB = CD (1)
=> $\hat{B A M} = \hat{M D C}$ (hai góc tương ứng).
- Ta có $\hat{B A M} = \hat{C A M}$ (vì AM là phân giác).
- Mà $\hat{B A M} = \hat{M D C}$ (chứng minh trên).
=> $\hat{C A M} = \hat{M D C} h a y \hat{C A D} = \hat{A D C}$ .
=> $∆$ ACD cân tại C => AC = CD (2).
Từ (1) và (2) => AB = AC.
Vậy $∆$ ABC cân tại A (điều phải chứng minh).

Answer 3

Để chứng minh tam giác ABC cân tại A khi M là trung điểm BC và AM là phân giác góc BAC, ta xét hai tam giác ABM và ACM, chứng minh chúng bằng nhau theo trường hợp c.g.c hoặc c.c.c (hoặc c.h-c.g.v nếu tam giác vuông), từ đó suy ra AB = AC, chứng tỏ tam giác ABC cân tại A.

Các bước chứng minh:

Xét tam giác ABM và tam giác ACM:
- (M là trung điểm BC - giả thiết).
- (AM là tia phân giác góc BAC - giả thiết).
- là cạnh chung.
Kết luận:
- Vậy (cạnh-góc-cạnh - c.g.c).
- Suy ra (hai cạnh tương ứng).
- Do đó, tam giác ABC cân tại A.

Giải thích:
Khi hai tam giác nhỏ ABM và ACM bằng nhau, các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Việc chứng minh được là điều kiện đủ để kết luận tam giác ABC cân tại đỉnh A.

...Xem thêm

Answer 4

Để chứng minh tam giác ABC cân tại A khi M là trung điểm BC và AM là phân giác góc BAC, ta xét hai tam giác ABM và ACM, chứng minh chúng bằng nhau theo trường hợp c.g.c hoặc c.c.c (hoặc c.h-c.g.v nếu tam giác vuông), từ đó suy ra AB = AC, chứng tỏ tam giác ABC cân tại A.

Các bước chứng minh:

Xét tam giác ABM và tam giác ACM:
- (M là trung điểm BC - giả thiết).
- (AM là tia phân giác góc BAC - giả thiết).
- là cạnh chung.
Kết luận:
- Vậy (cạnh-góc-cạnh - c.g.c).
- Suy ra (hai cạnh tương ứng).
- Do đó, tam giác ABC cân tại A.

Giải thích:
Khi hai tam giác nhỏ ABM và ACM bằng nhau, các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Việc chứng minh được là điều kiện đủ để kết luận tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Answer 5

Để chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $A$ khi có $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác, ta có thể thực hiện theo các bước sau: Cách 1: Sử dụng định lý hàm số sin hoặc tính chất đường phân giác Xét tam giác $ABM$ và $ACM$:Theo định lý đường phân giác trong tam giác $ABC$, ta có tỉ lệ: $\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MC}$.Dựa vào giả thiết trung điểm:Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB=MC$, suy ra $\frac{MB}{MC}=1$.Kết luận:Từ (1) và (2), ta có $\frac{AB}{AC}=1\Rightarrow AB=AC$.Tam giác $ABC$ có hai cạnh bên bằng nhau nên là tam giác cân tại $A$. Cách 2: Sử dụng phương pháp kẻ thêm đường phụ (Xét tam giác bằng nhau) Vẽ đường phụ: Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD=MA$.Xét $\triangle AMB$ và $\triangle DMC$:$MA=MD$ (cách vẽ).$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh).$MB=MC$ ($M$ là trung điểm $BC$).$\Rightarrow \triangle AMB=\triangle DMC$ (c-g-c).$\Rightarrow AB=CD$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BAM}=\widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng).Chứng minh tam giác $ACD$ cân:Ta có $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do $AM$ là phân giác).Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CDM}$ (chứng minh trên), nên $\widehat{CAM}=\widehat{CDM}$.Tam giác $ACD$ có hai góc đáy bằng nhau nên cân tại $C\Rightarrow AC=CD$.Kết luận:Vì $AB=CD$ và $AC=CD$, suy ra $AB=AC$.Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$. Cả hai cách đều dẫn đến kết luận $AB=AC$, thỏa mãn định nghĩa tam giác cân.

...Xem thêm

Answer 6

Để chứng minh tam giác $ABC$ cân tại $A$ khi có $AM$ vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác, ta có thể thực hiện theo các bước sau: Cách 1: Sử dụng định lý hàm số sin hoặc tính chất đường phân giác Xét tam giác $ABM$ và $ACM$:Theo định lý đường phân giác trong tam giác $ABC$, ta có tỉ lệ: $\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MC}$.Dựa vào giả thiết trung điểm:Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên $MB=MC$, suy ra $\frac{MB}{MC}=1$.Kết luận:Từ (1) và (2), ta có $\frac{AB}{AC}=1\Rightarrow AB=AC$.Tam giác $ABC$ có hai cạnh bên bằng nhau nên là tam giác cân tại $A$. Cách 2: Sử dụng phương pháp kẻ thêm đường phụ (Xét tam giác bằng nhau) Vẽ đường phụ: Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD=MA$.Xét $\triangle AMB$ và $\triangle DMC$:$MA=MD$ (cách vẽ).$\widehat{AMB}=\widehat{DMC}$ (hai góc đối đỉnh).$MB=MC$ ($M$ là trung điểm $BC$).$\Rightarrow \triangle AMB=\triangle DMC$ (c-g-c).$\Rightarrow AB=CD$ (hai cạnh tương ứng) và $\widehat{BAM}=\widehat{CDM}$ (hai góc tương ứng).Chứng minh tam giác $ACD$ cân:Ta có $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (do $AM$ là phân giác).Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CDM}$ (chứng minh trên), nên $\widehat{CAM}=\widehat{CDM}$.Tam giác $ACD$ có hai góc đáy bằng nhau nên cân tại $C\Rightarrow AC=CD$.Kết luận:Vì $AB=CD$ và $AC=CD$, suy ra $AB=AC$.Vậy tam giác $ABC$ cân tại $A$. Cả hai cách đều dẫn đến kết luận $AB=AC$, thỏa mãn định nghĩa tam giác cân.

Answer 7

Vì M là trung điểm của BC nên MB=MC.
AM là tia phân giác của ∠BAC nên ∠BAM=∠MAC,lại có AM chung.

Suy ra △ABM=△ACM (c.g.c) ⇒ AB=ACAB = ACAB=AC.
Vậy tam giác ABCABCABC cân tại AAA.

Answer 8

Để chứng minh tam giác ABC cân tại A khi M là trung điểm BC và AM là phân giác góc BAC, ta xét hai tam giác ABM và ACM, chứng minh chúng bằng nhau theo trường hợp c.g.c hoặc c.c.c (hoặc c.h-c.g.v nếu tam giác vuông), từ đó suy ra AB = AC, chứng tỏ tam giác ABC cân tại A.
Các bước chứng minh:
Xét tam giác ABM và tam giác ACM: (M là trung điểm BC - giả thiết).
(AM là tia phân giác góc BAC - giả thiết).
là cạnh chung.
Kết luận:Vậy (cạnh-góc-cạnh - c.g.c).
Suy ra (hai cạnh tương ứng).
Do đó, tam giác ABC cân tại A.
Giải thích:
Khi hai tam giác nhỏ ABM và ACM bằng nhau, các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Việc chứng minh được là điều kiện đủ để kết luận tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Answer 9

Để chứng minh tam giác
ABCcap A cap B cap C
???
cân tại Acap A
?
khi có AMcap A cap M
??
vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác, chúng ta có thể sử dụng phương pháp kẻ đường phụ hoặc định lý hàm số sin. Dưới đây là cách chứng minh phổ biến và dễ hiểu nhất:

Giả thiết:
Tam giác ABCcap A cap B cap C
???
có Mcap M
?
là trung điểm của BCcap B cap C
??
( MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
??=??
).
AMcap A cap M
??
là tia phân giác của góc BAĈmodified cap B cap A cap C with hat above
???
( BAM̂=CAM̂modified cap B cap A cap M with hat above equals modified cap C cap A cap M with hat above
???=???
).

Kết luận:
Chứng minh △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
cân tại Acap A
?
.

Cách 1: Kẻ đường phụ (Kéo dài trung tuyến)
Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MAcap M cap A
??
, lấy điểm Dcap D
?
sao cho MD=MAcap M cap D equals cap M cap A
??=??
.
Xét △ABMtriangle cap A cap B cap M
△???
và △DCMtriangle cap D cap C cap M
△???
: AM=DMcap A cap M equals cap D cap M
??=??
(cách vẽ).
AMB̂=DMĈmodified cap A cap M cap B with hat above equals modified cap D cap M cap C with hat above
???=???
(hai góc đối đỉnh).
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
??=??
(giả thiết Mcap M
?
là trung điểm).
⇒△ABM=△DCMimplies triangle cap A cap B cap M equals triangle cap D cap C cap M
⇒△???=△???
(cạnh - góc - cạnh).

Suy ra các cặp cạnh và góc tương ứng: AB=CDcap A cap B equals cap C cap D
??=??
(1)
BAM̂=D̂modified cap B cap A cap M with hat above equals cap D hat
???=?
(2)

Kết nối các dữ kiện:Theo giả thiết, AMcap A cap M
??
là phân giác nên BAM̂=CAM̂modified cap B cap A cap M with hat above equals modified cap C cap A cap M with hat above
???=???
.
Từ (2) suy ra: CAM̂=D̂modified cap C cap A cap M with hat above equals cap D hat
???=?
(vì cùng bằng BAM̂modified cap B cap A cap M with hat above
???
).

Xét △ACDtriangle cap A cap C cap D
△???
:Có CAD̂=D̂modified cap C cap A cap D with hat above equals cap D hat
???=?
(chứng minh trên).
⇒△ACDimplies triangle cap A cap C cap D
⇒△???
cân tại Ccap C
?
(tam giác có hai góc đáy bằng nhau).
⇒AC=CDimplies cap A cap C equals cap C cap D
⇒??=??
(2).

Kết luận:Từ (1) và (2) suy ra AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
??=??
.
Vậy △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
cân tại Acap A
?
. (đpcm)

Cách 2: Sử dụng diện tích hoặc Định lý hàm số Sin (Dành cho lớp lớn hơn)
Áp dụng định lý hàm số Sin trong △ABMtriangle cap A cap B cap M
△???
: MBsinBAM̂=ABsinAMB̂the fraction with numerator cap M cap B and denominator sine modified cap B cap A cap M with hat above end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator sine modified cap A cap M cap B with hat above end-fraction
??sin???=??sin???

Áp dụng định lý hàm số Sin trong △ACMtriangle cap A cap C cap M
△???
: MCsinCAM̂=ACsinAMĈthe fraction with numerator cap M cap C and denominator sine modified cap C cap A cap M with hat above end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator sine modified cap A cap M cap C with hat above end-fraction
??sin???=??sin???

Vì: MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
??=??
(trung điểm).
BAM̂=CAM̂modified cap B cap A cap M with hat above equals modified cap C cap A cap M with hat above
???=???
(phân giác).
sinAMB̂=sinAMĈsine modified cap A cap M cap B with hat above equals sine modified cap A cap M cap C with hat above
sin???=sin???
(vì hai góc này bù nhau).

Từ các điều trên, ta bắt buộc có AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
??=??
.
Vậy △ABCtriangle cap A cap B cap C
△???
cân tại Acap A
?
.

Ghi nhớ: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đóng vai trò là hai trong bốn loại đường (trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực) thì tam giác đó chắc chắn là tam giác cân.

...Xem thêm

Answer 10