Để chứng minh tam giác ABC cân tại A khi M là trung điểm BC và AM là phân giác góc BAC, ta xét hai tam giác ABM và ACM, chứng minh chúng bằng nhau theo trường hợp c.g.c hoặc c.c.c (hoặc c.h-c.g.v nếu tam giác vuông), từ đó suy ra AB = AC, chứng tỏ tam giác ABC cân tại A.

Giải thích:
Khi hai tam giác nhỏ ABM và ACM bằng nhau, các cạnh tương ứng và các góc tương ứng của chúng cũng bằng nhau. Việc chứng minh được   là điều kiện đủ để kết luận tam giác ABC cân tại đỉnh A.

Để chứng minh tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) khi có \(AM\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác, ta có thể thực hiện theo các bước sau: Cách 1: Sử dụng định lý hàm số sin hoặc tính chất đường phân giác Xét tam giác \(ABM\) và \(ACM\):Theo định lý đường phân giác trong tam giác \(ABC\), ta có tỉ lệ: \(\frac{AB}{AC}=\frac{MB}{MC}\).Dựa vào giả thiết trung điểm:Vì \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB=MC\), suy ra \(\frac{MB}{MC}=1\).Kết luận:Từ (1) và (2), ta có \(\frac{AB}{AC}=1\Rightarrow AB=AC\).Tam giác \(ABC\) có hai cạnh bên bằng nhau nên là tam giác cân tại \(A\). Cách 2: Sử dụng phương pháp kẻ thêm đường phụ (Xét tam giác bằng nhau) Vẽ đường phụ: Trên tia đối của tia \(MA\), lấy điểm \(D\) sao cho \(MD=MA\).Xét \(\triangle AMB\) và \(\triangle DMC\):\(MA=MD\) (cách vẽ).\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (hai góc đối đỉnh).\(MB=MC\) (\(M\) là trung điểm \(BC\)).\(\Rightarrow \triangle AMB=\triangle DMC\) (c-g-c).\(\Rightarrow AB=CD\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BAM}=\widehat{CDM}\) (hai góc tương ứng).Chứng minh tam giác \(ACD\) cân:Ta có \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) (do \(AM\) là phân giác).Mà \(\widehat{BAM}=\widehat{CDM}\) (chứng minh trên), nên \(\widehat{CAM}=\widehat{CDM}\).Tam giác \(ACD\) có hai góc đáy bằng nhau nên cân tại \(C\Rightarrow AC=CD\).Kết luận:Vì \(AB=CD\) và \(AC=CD\), suy ra \(AB=AC\).Vậy tam giác \(ABC\) cân tại \(A\). Cả hai cách đều dẫn đến kết luận \(AB=AC\), thỏa mãn định nghĩa tam giác cân. 

Để chứng minh tam giác
ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
khi có AMcap A cap M
𝐴𝑀
vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác, chúng ta có thể sử dụng phương pháp kẻ đường phụ hoặc định lý hàm số sin. Dưới đây là cách chứng minh phổ biến và dễ hiểu nhất: 

Giả thiết: 
Tam giác ABCcap A cap B cap C
𝐴𝐵𝐶
có Mcap M
𝑀
là trung điểm của BCcap B cap C
𝐵𝐶
( MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
).
AMcap A cap M
𝐴𝑀
là tia phân giác của góc BAĈmodified cap B cap A cap C with hat above
𝐵𝐴𝐶
( BAM̂=CAM̂modified cap B cap A cap M with hat above equals modified cap C cap A cap M with hat above
𝐵𝐴𝑀=𝐶𝐴𝑀
). 

Kết luận: 
Chứng minh △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
. 

Cách 1: Kẻ đường phụ (Kéo dài trung tuyến) 
Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MAcap M cap A
𝑀𝐴
, lấy điểm Dcap D
𝐷
sao cho MD=MAcap M cap D equals cap M cap A
𝑀𝐷=𝑀𝐴
.
Xét △ABMtriangle cap A cap B cap M
△𝐴𝐵𝑀
và △DCMtriangle cap D cap C cap M
△𝐷𝐶𝑀
: AM=DMcap A cap M equals cap D cap M
𝐴𝑀=𝐷𝑀
(cách vẽ).
AMB̂=DMĈmodified cap A cap M cap B with hat above equals modified cap D cap M cap C with hat above
𝐴𝑀𝐵=𝐷𝑀𝐶
(hai góc đối đỉnh).
MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(giả thiết Mcap M
𝑀
là trung điểm).
⇒△ABM=△DCMimplies triangle cap A cap B cap M equals triangle cap D cap C cap M
⇒△𝐴𝐵𝑀=△𝐷𝐶𝑀
(cạnh - góc - cạnh).

Suy ra các cặp cạnh và góc tương ứng: AB=CDcap A cap B equals cap C cap D
𝐴𝐵=𝐶𝐷
(1)
BAM̂=D̂modified cap B cap A cap M with hat above equals cap D hat
𝐵𝐴𝑀=𝐷
(2)

Kết nối các dữ kiện:Theo giả thiết, AMcap A cap M
𝐴𝑀
là phân giác nên BAM̂=CAM̂modified cap B cap A cap M with hat above equals modified cap C cap A cap M with hat above
𝐵𝐴𝑀=𝐶𝐴𝑀
.
Từ (2) suy ra: CAM̂=D̂modified cap C cap A cap M with hat above equals cap D hat
𝐶𝐴𝑀=𝐷
(vì cùng bằng BAM̂modified cap B cap A cap M with hat above
𝐵𝐴𝑀
).

Xét △ACDtriangle cap A cap C cap D
△𝐴𝐶𝐷
:Có CAD̂=D̂modified cap C cap A cap D with hat above equals cap D hat
𝐶𝐴𝐷=𝐷
(chứng minh trên).
⇒△ACDimplies triangle cap A cap C cap D
⇒△𝐴𝐶𝐷
cân tại Ccap C
𝐶
(tam giác có hai góc đáy bằng nhau).
⇒AC=CDimplies cap A cap C equals cap C cap D
⇒𝐴𝐶=𝐶𝐷
(2).

Kết luận:Từ (1) và (2) suy ra AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
.
Vậy △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
. (đpcm) 

Cách 2: Sử dụng diện tích hoặc Định lý hàm số Sin (Dành cho lớp lớn hơn) 
Áp dụng định lý hàm số Sin trong △ABMtriangle cap A cap B cap M
△𝐴𝐵𝑀
: MBsinBAM̂=ABsinAMB̂the fraction with numerator cap M cap B and denominator sine modified cap B cap A cap M with hat above end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap B and denominator sine modified cap A cap M cap B with hat above end-fraction
𝑀𝐵sin𝐵𝐴𝑀=𝐴𝐵sin𝐴𝑀𝐵

Áp dụng định lý hàm số Sin trong △ACMtriangle cap A cap C cap M
△𝐴𝐶𝑀
: MCsinCAM̂=ACsinAMĈthe fraction with numerator cap M cap C and denominator sine modified cap C cap A cap M with hat above end-fraction equals the fraction with numerator cap A cap C and denominator sine modified cap A cap M cap C with hat above end-fraction
𝑀𝐶sin𝐶𝐴𝑀=𝐴𝐶sin𝐴𝑀𝐶

Vì: MB=MCcap M cap B equals cap M cap C
𝑀𝐵=𝑀𝐶
(trung điểm).
BAM̂=CAM̂modified cap B cap A cap M with hat above equals modified cap C cap A cap M with hat above
𝐵𝐴𝑀=𝐶𝐴𝑀
(phân giác).
sinAMB̂=sinAMĈsine modified cap A cap M cap B with hat above equals sine modified cap A cap M cap C with hat above
sin𝐴𝑀𝐵=sin𝐴𝑀𝐶
(vì hai góc này bù nhau).

Từ các điều trên, ta bắt buộc có AB=ACcap A cap B equals cap A cap C
𝐴𝐵=𝐴𝐶
.
Vậy △ABCtriangle cap A cap B cap C
△𝐴𝐵𝐶
cân tại Acap A
𝐴
. 

Ghi nhớ: Trong một tam giác, nếu một đường thẳng đóng vai trò là hai trong bốn loại đường (trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực) thì tam giác đó chắc chắn là tam giác cân.